Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61876 / 76867
↖ ↑ ↗
← S 29.695211°
W 10.052490°		 ← 265.26 m → S 29.695211°
W 10.049744°		 →
↑
265.29 m
↓
↑
265.29 m
↓
S 29.697597°
W 10.052490°		 ← 265.25 m →
70 370 m²		 S 29.697597°
W 10.049744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472080230712891 y=0.586452484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472080230712891 × 217)
    floor (0.472080230712891 × 131072)
    floor (61876.5)     		tx = 61876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586452484130859 × 217)
    floor (0.586452484130859 × 131072)
    floor (76867.5)     		ty = 76867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61876 / 76867 ti = "17/61876/76867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61876/76867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61876 ÷ 217
    61876 ÷ 131072     		x = 0.472076416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76867 ÷ 217
    76867 ÷ 131072     		y = 0.586448669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.05584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17544905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586448669433594 × 2 - 1) × π
    -0.172897338867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.543173009594856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17544905} λ = -0.17544905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543173009594856))-π/2
    2×atan(0.580902117029308)-π/2
    2×0.52625856445362-π/2
    1.05251712890724-1.57079632675     		φ = -0.51827920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17544905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.052490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51827920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.695211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61876 KachelY 76867 -0.17544905 -0.51827920 -10.052490 -29.695211
    Oben rechts KachelX + 1 61877 KachelY 76867 -0.17540112 -0.51827920 -10.049744 -29.695211
    Unten links KachelX 61876 KachelY + 1 76868 -0.17544905 -0.51832084 -10.052490 -29.697597
    Unten rechts KachelX + 1 61877 KachelY + 1 76868 -0.17540112 -0.51832084 -10.049744 -29.697597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51827920--0.51832084) × R
    4.16399999999539e-05 × 6371000     		dl = 265.288439999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51827920--0.51832084) × R
    4.16399999999539e-05 × 6371000     		dr = 265.288439999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17544905--0.17540112) × cos(-0.51827920) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868672925724661 × 6371000     		do = 265.259728005331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17544905--0.17540112) × cos(-0.51832084) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868652297096051 × 6371000     		du = 265.253428805422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51827920)-sin(-0.51832084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868672925724661-0.868652297096051)×R²
    abs(-0.17540112--0.17544905)×2.06286286099644e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.06286286099644e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.06286286099644e-05×40589641000000     		ar = 70369.5038950514m²