Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61875 / 77711
↖ ↑ ↗
← S 31.688445°
W 10.055237°		 ← 259.89 m → S 31.688445°
W 10.052490°		 →
↑
259.81 m
↓
↑
259.81 m
↓
S 31.690782°
W 10.055237°		 ← 259.89 m →
67 522 m²		 S 31.690782°
W 10.052490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472072601318359 y=0.592891693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472072601318359 × 217)
    floor (0.472072601318359 × 131072)
    floor (61875.5)     		tx = 61875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592891693115234 × 217)
    floor (0.592891693115234 × 131072)
    floor (77711.5)     		ty = 77711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61875 / 77711 ti = "17/61875/77711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61875/77711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61875 ÷ 217
    61875 ÷ 131072     		x = 0.472068786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77711 ÷ 217
    77711 ÷ 131072     		y = 0.592887878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472068786621094 × 2 - 1) × π
    -0.0558624267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17549699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592887878417969 × 2 - 1) × π
    -0.185775756835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.583631752874184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17549699} λ = -0.17549699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583631752874184))-π/2
    2×atan(0.557868642023289)-π/2
    2×0.50886431578669-π/2
    1.01772863157338-1.57079632675     		φ = -0.55306770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17549699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.055237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55306770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.688445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61875 KachelY 77711 -0.17549699 -0.55306770 -10.055237 -31.688445
    Oben rechts KachelX + 1 61876 KachelY 77711 -0.17544905 -0.55306770 -10.052490 -31.688445
    Unten links KachelX 61875 KachelY + 1 77712 -0.17549699 -0.55310848 -10.055237 -31.690782
    Unten rechts KachelX + 1 61876 KachelY + 1 77712 -0.17544905 -0.55310848 -10.052490 -31.690782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55306770--0.55310848) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dl = 259.809379999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55306770--0.55310848) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dr = 259.809379999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17549699--0.17544905) × cos(-0.55306770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850917065503646 × 6371000     		do = 259.89197441006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17549699--0.17544905) × cos(-0.55310848) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850895643059874 × 6371000     		du = 259.885431444318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55306770)-sin(-0.55310848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850917065503646-0.850895643059874)×R²
    abs(-0.17544905--0.17549699)×2.14224437723454e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14224437723454e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14224437723454e-05×40589641000000     		ar = 67521.5227857738m²