Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61873 / 77712
↖ ↑ ↗
← S 31.690782°
W 10.060730°		 ← 259.83 m → S 31.690782°
W 10.057984°		 →
↑
259.87 m
↓
↑
259.87 m
↓
S 31.693119°
W 10.060730°		 ← 259.82 m →
67 522 m²		 S 31.693119°
W 10.057984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472057342529297 y=0.592899322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472057342529297 × 217)
    floor (0.472057342529297 × 131072)
    floor (61873.5)     		tx = 61873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592899322509766 × 217)
    floor (0.592899322509766 × 131072)
    floor (77712.5)     		ty = 77712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61873 / 77712 ti = "17/61873/77712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61873/77712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61873 ÷ 217
    61873 ÷ 131072     		x = 0.472053527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77712 ÷ 217
    77712 ÷ 131072     		y = 0.5928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472053527832031 × 2 - 1) × π
    -0.0558929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17559286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.185791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.583679689773804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17559286} λ = -0.17559286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583679689773804))-π/2
    2×atan(0.557841900171162)-π/2
    2×0.508843920880445-π/2
    1.01768784176089-1.57079632675     		φ = -0.55310848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17559286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.060730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55310848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.690782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61873 KachelY 77712 -0.17559286 -0.55310848 -10.060730 -31.690782
    Oben rechts KachelX + 1 61874 KachelY 77712 -0.17554493 -0.55310848 -10.057984 -31.690782
    Unten links KachelX 61873 KachelY + 1 77713 -0.17559286 -0.55314927 -10.060730 -31.693119
    Unten rechts KachelX + 1 61874 KachelY + 1 77713 -0.17554493 -0.55314927 -10.057984 -31.693119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55310848--0.55314927) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dl = 259.873090000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55310848--0.55314927) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dr = 259.873090000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17559286--0.17554493) × cos(-0.55310848) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850895643059874 × 6371000     		do = 259.831220882927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17559286--0.17554493) × cos(-0.55314927) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850874213947361 × 6371000     		du = 259.824677245629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55310848)-sin(-0.55314927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850895643059874-0.850874213947361)×R²
    abs(-0.17554493--0.17559286)×2.14291125134602e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14291125134602e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14291125134602e-05×40589641000000     		ar = 67522.2920010496m²