Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61873 / 12911
↖ ↑ ↗
← N 73.049838°
E159.878540°		 ← 178.07 m → N 73.049838°
E159.884033°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
N 73.048237°
E159.878540°		 ← 178.09 m →
31 710 m²		 N 73.048237°
E159.884033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944114685058594 y=0.197013854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944114685058594 × 216)
    floor (0.944114685058594 × 65536)
    floor (61873.5)     		tx = 61873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197013854980469 × 216)
    floor (0.197013854980469 × 65536)
    floor (12911.5)     		ty = 12911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61873 / 12911 ti = "16/61873/12911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61873/12911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61873 ÷ 216
    61873 ÷ 65536     		x = 0.944107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12911 ÷ 216
    12911 ÷ 65536     		y = 0.197006225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944107055664062 × 2 - 1) × π
    0.888214111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79040693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197006225585938 × 2 - 1) × π
    0.605987548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90376603151091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79040693} λ = 2.79040693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90376603151091))-π/2
    2×atan(6.71112120400139)-π/2
    2×1.42287825802305-π/2
    2.8457565160461-1.57079632675     		φ = 1.27496019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79040693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.878540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27496019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.049838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61873 KachelY 12911 2.79040693 1.27496019 159.878540 73.049838
    Oben rechts KachelX + 1 61874 KachelY 12911 2.79050280 1.27496019 159.884033 73.049838
    Unten links KachelX 61873 KachelY + 1 12912 2.79040693 1.27493224 159.878540 73.048237
    Unten rechts KachelX + 1 61874 KachelY + 1 12912 2.79050280 1.27493224 159.884033 73.048237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27496019-1.27493224) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27496019-1.27493224) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79040693-2.79050280) × cos(1.27496019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291539765875349 × 6371000     		do = 178.068923465323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79040693-2.79050280) × cos(1.27493224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291566501577403 × 6371000     		du = 178.08525330516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27496019)-sin(1.27493224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291539765875349-0.291566501577403)×R²
    abs(2.79050280-2.79040693)×2.6735702054026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6735702054026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6735702054026e-05×40589641000000     		ar = 31710.089188326m²