Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61872 / 77744
↖ ↑ ↗
← S 31.765538°
W 10.063477°		 ← 259.68 m → S 31.765538°
W 10.060730°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
S 31.767872°
W 10.063477°		 ← 259.67 m →
67 416 m²		 S 31.767872°
W 10.060730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472049713134766 y=0.593143463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472049713134766 × 217)
    floor (0.472049713134766 × 131072)
    floor (61872.5)     		tx = 61872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593143463134766 × 217)
    floor (0.593143463134766 × 131072)
    floor (77744.5)     		ty = 77744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61872 / 77744 ti = "17/61872/77744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61872/77744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61872 ÷ 217
    61872 ÷ 131072     		x = 0.4720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77744 ÷ 217
    77744 ÷ 131072     		y = 0.5931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17564080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.186279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.585213670561646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17564080} λ = -0.17564080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585213670561646))-π/2
    2×atan(0.556986837406243)-π/2
    2×0.508191555174093-π/2
    1.01638311034819-1.57079632675     		φ = -0.55441322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17564080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55441322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.765538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61872 KachelY 77744 -0.17564080 -0.55441322 -10.063477 -31.765538
    Oben rechts KachelX + 1 61873 KachelY 77744 -0.17559286 -0.55441322 -10.060730 -31.765538
    Unten links KachelX 61872 KachelY + 1 77745 -0.17564080 -0.55445397 -10.063477 -31.767872
    Unten rechts KachelX + 1 61873 KachelY + 1 77745 -0.17559286 -0.55445397 -10.060730 -31.767872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55441322--0.55445397) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dl = 259.618249999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55441322--0.55445397) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dr = 259.618249999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17564080--0.17559286) × cos(-0.55441322) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.850209493726849 × 6371000     		do = 259.675863776679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17564080--0.17559286) × cos(-0.55445397) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.850188040407366 × 6371000     		du = 259.6693113807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55441322)-sin(-0.55445397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850209493726849-0.850188040407366)×R²
    abs(-0.17559286--0.17564080)×2.14533194832223e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14533194832223e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14533194832223e-05×40589641000000     		ar = 67415.742769403m²