Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61872 / 34576
↖ ↑ ↗
← N 64.453850°
W 10.063477°		 ← 131.71 m → N 64.453850°
W 10.060730°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
N 64.452665°
W 10.063477°		 ← 131.72 m →
17 345 m²		 N 64.452665°
W 10.060730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472049713134766 y=0.263797760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472049713134766 × 217)
    floor (0.472049713134766 × 131072)
    floor (61872.5)     		tx = 61872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263797760009766 × 217)
    floor (0.263797760009766 × 131072)
    floor (34576.5)     		ty = 34576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61872 / 34576 ti = "17/61872/34576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61872/34576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61872 ÷ 217
    61872 ÷ 131072     		x = 0.4720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34576 ÷ 217
    34576 ÷ 131072     		y = 0.2637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17564080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2637939453125 × 2 - 1) × π
    0.472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48412641223694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17564080} λ = -0.17564080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48412641223694))-π/2
    2×atan(4.41111023718192)-π/2
    2×1.34786410796916-π/2
    2.69572821593831-1.57079632675     		φ = 1.12493189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17564080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12493189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.453850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61872 KachelY 34576 -0.17564080 1.12493189 -10.063477 64.453850
    Oben rechts KachelX + 1 61873 KachelY 34576 -0.17559286 1.12493189 -10.060730 64.453850
    Unten links KachelX 61872 KachelY + 1 34577 -0.17564080 1.12491122 -10.063477 64.452665
    Unten rechts KachelX + 1 61873 KachelY + 1 34577 -0.17559286 1.12491122 -10.060730 64.452665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12493189-1.12491122) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dl = 131.688570000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12493189-1.12491122) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dr = 131.688570000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17564080--0.17559286) × cos(1.12493189) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.431237969244345 × 6371000     		do = 131.711175872617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17564080--0.17559286) × cos(1.12491122) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.431256618416322 × 6371000     		du = 131.716871809769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12493189)-sin(1.12491122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431237969244345-0.431256618416322)×R²
    abs(-0.17559286--0.17564080)×1.8649171977636e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8649171977636e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8649171977636e-05×40589641000000     		ar = 17345.2314493783m²