Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61871 / 76135
↖ ↑ ↗
← S 27.933754°
W 10.066223°		 ← 269.84 m → S 27.933754°
W 10.063477°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
S 27.936180°
W 10.066223°		 ← 269.83 m →
72 805 m²		 S 27.936180°
W 10.063477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472042083740234 y=0.580867767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472042083740234 × 217)
    floor (0.472042083740234 × 131072)
    floor (61871.5)     		tx = 61871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580867767333984 × 217)
    floor (0.580867767333984 × 131072)
    floor (76135.5)     		ty = 76135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61871 / 76135 ti = "17/61871/76135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61871/76135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61871 ÷ 217
    61871 ÷ 131072     		x = 0.472038269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76135 ÷ 217
    76135 ÷ 131072     		y = 0.580863952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472038269042969 × 2 - 1) × π
    -0.0559234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17568874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580863952636719 × 2 - 1) × π
    -0.161727905273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.508083199072975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17568874} λ = -0.17568874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508083199072975))-π/2
    2×atan(0.601647713147732)-π/2
    2×0.541630173386387-π/2
    1.08326034677277-1.57079632675     		φ = -0.48753598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17568874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.066223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48753598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.933754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61871 KachelY 76135 -0.17568874 -0.48753598 -10.066223 -27.933754
    Oben rechts KachelX + 1 61872 KachelY 76135 -0.17564080 -0.48753598 -10.063477 -27.933754
    Unten links KachelX 61871 KachelY + 1 76136 -0.17568874 -0.48757833 -10.066223 -27.936180
    Unten rechts KachelX + 1 61872 KachelY + 1 76136 -0.17564080 -0.48757833 -10.063477 -27.936180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48753598--0.48757833) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dl = 269.811850000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48753598--0.48757833) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dr = 269.811850000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17568874--0.17564080) × cos(-0.48753598) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883489810543559 × 6371000     		do = 269.840529167706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17568874--0.17564080) × cos(-0.48757833) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883469970877867 × 6371000     		du = 269.83446962313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48753598)-sin(-0.48757833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883489810543559-0.883469970877867)×R²
    abs(-0.17564080--0.17568874)×1.98396656921895e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98396656921895e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98396656921895e-05×40589641000000     		ar = 72805.3549221571m²