Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61871 / 12463
↖ ↑ ↗
← N 73.752743°
E159.867554°		 ← 170.89 m → N 73.752743°
E159.873047°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
N 73.751205°
E159.867554°		 ← 170.90 m →
29 212 m²		 N 73.751205°
E159.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944084167480469 y=0.190177917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944084167480469 × 216)
    floor (0.944084167480469 × 65536)
    floor (61871.5)     		tx = 61871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190177917480469 × 216)
    floor (0.190177917480469 × 65536)
    floor (12463.5)     		ty = 12463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61871 / 12463 ti = "16/61871/12463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61871/12463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61871 ÷ 216
    61871 ÷ 65536     		x = 0.944076538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12463 ÷ 216
    12463 ÷ 65536     		y = 0.190170288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944076538085938 × 2 - 1) × π
    0.888153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79021518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190170288085938 × 2 - 1) × π
    0.619659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94671749357048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79021518} λ = 2.79021518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94671749357048))-π/2
    2×atan(7.00565369353831)-π/2
    2×1.4290122566319-π/2
    2.8580245132638-1.57079632675     		φ = 1.28722819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79021518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.867554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28722819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.752743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61871 KachelY 12463 2.79021518 1.28722819 159.867554 73.752743
    Oben rechts KachelX + 1 61872 KachelY 12463 2.79031105 1.28722819 159.873047 73.752743
    Unten links KachelX 61871 KachelY + 1 12464 2.79021518 1.28720136 159.867554 73.751205
    Unten rechts KachelX + 1 61872 KachelY + 1 12464 2.79031105 1.28720136 159.873047 73.751205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28722819-1.28720136) × R
    2.68299999999222e-05 × 6371000     		dl = 170.933929999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28722819-1.28720136) × R
    2.68299999999222e-05 × 6371000     		dr = 170.933929999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79021518-2.79031105) × cos(1.28722819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.279783059336058 × 6371000     		do = 170.888070895645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79021518-2.79031105) × cos(1.28720136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.279808817732291 × 6371000     		du = 170.903803809039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28722819)-sin(1.28720136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279783059336058-0.279808817732291)×R²
    abs(2.79031105-2.79021518)×2.57583962335883e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.57583962335883e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.57583962335883e-05×40589641000000     		ar = 29211.9141941964m²