Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61871 / 12459
↖ ↑ ↗
← N 73.758889°
E159.867554°		 ← 170.83 m → N 73.758889°
E159.873047°		 →
↑
170.81 m
↓
↑
170.81 m
↓
N 73.757353°
E159.867554°		 ← 170.84 m →
29 179 m²		 N 73.757353°
E159.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944084167480469 y=0.190116882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944084167480469 × 216)
    floor (0.944084167480469 × 65536)
    floor (61871.5)     		tx = 61871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190116882324219 × 216)
    floor (0.190116882324219 × 65536)
    floor (12459.5)     		ty = 12459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61871 / 12459 ti = "16/61871/12459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61871/12459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61871 ÷ 216
    61871 ÷ 65536     		x = 0.944076538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12459 ÷ 216
    12459 ÷ 65536     		y = 0.190109252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944076538085938 × 2 - 1) × π
    0.888153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79021518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190109252929688 × 2 - 1) × π
    0.619781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94710098876744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79021518} λ = 2.79021518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94710098876744))-π/2
    2×atan(7.00834084330293)-π/2
    2×1.42906589448738-π/2
    2.85813178897476-1.57079632675     		φ = 1.28733546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79021518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.867554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28733546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.758889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61871 KachelY 12459 2.79021518 1.28733546 159.867554 73.758889
    Oben rechts KachelX + 1 61872 KachelY 12459 2.79031105 1.28733546 159.873047 73.758889
    Unten links KachelX 61871 KachelY + 1 12460 2.79021518 1.28730865 159.867554 73.757353
    Unten rechts KachelX + 1 61872 KachelY + 1 12460 2.79031105 1.28730865 159.873047 73.757353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28733546-1.28730865) × R
    2.68100000000437e-05 × 6371000     		dl = 170.806510000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28733546-1.28730865) × R
    2.68100000000437e-05 × 6371000     		dr = 170.806510000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79021518-2.79031105) × cos(1.28733546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.279680071741956 × 6371000     		do = 170.825167332706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79021518-2.79031105) × cos(1.28730865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.279705811741595 × 6371000     		du = 170.840889009685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28733546)-sin(1.28730865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279680071741956-0.279705811741595)×R²
    abs(2.79031105-2.79021518)×2.57399996382857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.57399996382857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.57399996382857e-05×40589641000000     		ar = 29179.3933366287m²