Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6187 / 10091
↖ ↑ ↗
← S 38.462192°
W 44.055176°		 ← 1 913.13 m → S 38.462192°
W 44.033203°		 →
↑
1 912.89 m
↓
↑
1 912.89 m
↓
S 38.479395°
W 44.055176°		 ← 1 912.68 m →
3 659 182 m²		 S 38.479395°
W 44.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377655029296875 y=0.615936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377655029296875 × 214)
    floor (0.377655029296875 × 16384)
    floor (6187.5)     		tx = 6187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615936279296875 × 214)
    floor (0.615936279296875 × 16384)
    floor (10091.5)     		ty = 10091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6187 / 10091 ti = "14/6187/10091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6187/10091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6187 ÷ 214
    6187 ÷ 16384     		x = 0.37762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10091 ÷ 214
    10091 ÷ 16384     		y = 0.61590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76890787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61590576171875 × 2 - 1) × π
    -0.2318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.728257379027893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76890787} λ = -0.76890787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728257379027893))-π/2
    2×atan(0.482749506941425)-π/2
    2×0.449752221855171-π/2
    0.899504443710343-1.57079632675     		φ = -0.67129188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76890787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.055176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67129188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.462192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6187 KachelY 10091 -0.76890787 -0.67129188 -44.055176 -38.462192
    Oben rechts KachelX + 1 6188 KachelY 10091 -0.76852437 -0.67129188 -44.033203 -38.462192
    Unten links KachelX 6187 KachelY + 1 10092 -0.76890787 -0.67159213 -44.055176 -38.479395
    Unten rechts KachelX + 1 6188 KachelY + 1 10092 -0.76852437 -0.67159213 -44.033203 -38.479395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67129188--0.67159213) × R
    0.000300250000000002 × 6371000     		dl = 1912.89275000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67129188--0.67159213) × R
    0.000300250000000002 × 6371000     		dr = 1912.89275000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76890787--0.76852437) × cos(-0.67129188) × R
    0.000383500000000092 × 0.783018772646031 × 6371000     		do = 1913.1329323029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76890787--0.76852437) × cos(-0.67159213) × R
    0.000383500000000092 × 0.782831982433096 × 6371000     		du = 1912.67655179162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67129188)-sin(-0.67159213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783018772646031-0.782831982433096)×R²
    abs(-0.76852437--0.76890787)×0.000186790212934551×R²
    0.000383500000000092×0.000186790212934551×6371000²
    0.000383500000000092×0.000186790212934551×40589641000000     		ar = 3659181.6399915m²