Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61868 / 34570
↖ ↑ ↗
← N 64.460955°
W 10.074463°		 ← 131.68 m → N 64.460955°
W 10.071716°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
N 64.459771°
W 10.074463°		 ← 131.68 m →
17 341 m²		 N 64.459771°
W 10.071716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472019195556641 y=0.263751983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472019195556641 × 217)
    floor (0.472019195556641 × 131072)
    floor (61868.5)     		tx = 61868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263751983642578 × 217)
    floor (0.263751983642578 × 131072)
    floor (34570.5)     		ty = 34570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61868 / 34570 ti = "17/61868/34570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61868/34570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61868 ÷ 217
    61868 ÷ 131072     		x = 0.472015380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34570 ÷ 217
    34570 ÷ 131072     		y = 0.263748168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.05596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17583255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263748168945312 × 2 - 1) × π
    0.472503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48441403363466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17583255} λ = -0.17583255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48441403363466))-π/2
    2×atan(4.41237914934824)-π/2
    2×1.34792611655678-π/2
    2.69585223311357-1.57079632675     		φ = 1.12505591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17583255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.074463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12505591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.460955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61868 KachelY 34570 -0.17583255 1.12505591 -10.074463 64.460955
    Oben rechts KachelX + 1 61869 KachelY 34570 -0.17578461 1.12505591 -10.071716 64.460955
    Unten links KachelX 61868 KachelY + 1 34571 -0.17583255 1.12503524 -10.074463 64.459771
    Unten rechts KachelX + 1 61869 KachelY + 1 34571 -0.17578461 1.12503524 -10.071716 64.459771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12505591-1.12503524) × R
    2.06699999998339e-05 × 6371000     		dl = 131.688569998942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12505591-1.12503524) × R
    2.06699999998339e-05 × 6371000     		dr = 131.688569998942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17583255--0.17578461) × cos(1.12505591) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431126070343593 × 6371000     		do = 131.676999067974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17583255--0.17578461) × cos(1.12503524) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431144720620927 × 6371000     		du = 131.68269534273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12505591)-sin(1.12503524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431126070343593-0.431144720620927)×R²
    abs(-0.17578461--0.17583255)×1.8650277333665e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8650277333665e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8650277333665e-05×40589641000000     		ar = 17340.7307768885m²