Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61867 / 28323
↖ ↑ ↗
← N 70.928312°
W 10.077209°		 ← 99.78 m → N 70.928312°
W 10.074463°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
N 70.927414°
W 10.077209°		 ← 99.78 m →
9 961 m²		 N 70.927414°
W 10.074463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472011566162109 y=0.216091156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472011566162109 × 217)
    floor (0.472011566162109 × 131072)
    floor (61867.5)     		tx = 61867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216091156005859 × 217)
    floor (0.216091156005859 × 131072)
    floor (28323.5)     		ty = 28323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61867 / 28323 ti = "17/61867/28323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61867/28323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61867 ÷ 217
    61867 ÷ 131072     		x = 0.472007751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28323 ÷ 217
    28323 ÷ 131072     		y = 0.216087341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472007751464844 × 2 - 1) × π
    -0.0559844970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17588048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216087341308594 × 2 - 1) × π
    0.567825317382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.78387584556115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17588048} λ = -0.17588048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78387584556115))-π/2
    2×atan(5.9528842235499)-π/2
    2×1.40436444653759-π/2
    2.80872889307517-1.57079632675     		φ = 1.23793257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17588048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.077209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23793257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.928312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61867 KachelY 28323 -0.17588048 1.23793257 -10.077209 70.928312
    Oben rechts KachelX + 1 61868 KachelY 28323 -0.17583255 1.23793257 -10.074463 70.928312
    Unten links KachelX 61867 KachelY + 1 28324 -0.17588048 1.23791690 -10.077209 70.927414
    Unten rechts KachelX + 1 61868 KachelY + 1 28324 -0.17583255 1.23791690 -10.074463 70.927414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23793257-1.23791690) × R
    1.56699999998011e-05 × 6371000     		dl = 99.8335699987329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23793257-1.23791690) × R
    1.56699999998011e-05 × 6371000     		dr = 99.8335699987329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17588048--0.17583255) × cos(1.23793257) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.326750931127075 × 6371000     		do = 99.7773276333571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17588048--0.17583255) × cos(1.23791690) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.326765740968259 × 6371000     		du = 99.781849996525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23793257)-sin(1.23791690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326750931127075-0.326765740968259)×R²
    abs(-0.17583255--0.17588048)×1.48098411837383e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.48098411837383e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.48098411837383e-05×40589641000000     		ar = 9961.35256466658m²