Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61866 / 77098
↖ ↑ ↗
← S 30.244832°
W 10.079956°		 ← 263.85 m → S 30.244832°
W 10.077209°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
S 30.247205°
W 10.079956°		 ← 263.85 m →
69 609 m²		 S 30.247205°
W 10.077209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472003936767578 y=0.588214874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472003936767578 × 217)
    floor (0.472003936767578 × 131072)
    floor (61866.5)     		tx = 61866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588214874267578 × 217)
    floor (0.588214874267578 × 131072)
    floor (77098.5)     		ty = 77098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61866 / 77098 ti = "17/61866/77098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61866/77098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61866 ÷ 217
    61866 ÷ 131072     		x = 0.472000122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77098 ÷ 217
    77098 ÷ 131072     		y = 0.588211059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472000122070312 × 2 - 1) × π
    -0.055999755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17592842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588211059570312 × 2 - 1) × π
    -0.176422119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.554246433407089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17592842} λ = -0.17592842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554246433407089))-π/2
    2×atan(0.574505025912427)-π/2
    2×0.521462214087105-π/2
    1.04292442817421-1.57079632675     		φ = -0.52787190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17592842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.079956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52787190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.244832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61866 KachelY 77098 -0.17592842 -0.52787190 -10.079956 -30.244832
    Oben rechts KachelX + 1 61867 KachelY 77098 -0.17588048 -0.52787190 -10.077209 -30.244832
    Unten links KachelX 61866 KachelY + 1 77099 -0.17592842 -0.52791331 -10.079956 -30.247205
    Unten rechts KachelX + 1 61867 KachelY + 1 77099 -0.17588048 -0.52791331 -10.077209 -30.247205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52787190--0.52791331) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dl = 263.823110000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52787190--0.52791331) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dr = 263.823110000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17592842--0.17588048) × cos(-0.52787190) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.863880941462406 × 6371000     		do = 263.851475818032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17592842--0.17588048) × cos(-0.52791331) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.863860082667958 × 6371000     		du = 263.845105005302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52787190)-sin(-0.52791331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863880941462406-0.863860082667958)×R²
    abs(-0.17588048--0.17592842)×2.08587944476868e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08587944476868e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08587944476868e-05×40589641000000     		ar = 69609.2765546506m²