Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61866 / 12650
↖ ↑ ↗
← N 73.462857°
E159.840088°		 ← 173.85 m → N 73.462857°
E159.845581°		 →
↑
173.86 m
↓
↑
173.86 m
↓
N 73.461293°
E159.840088°		 ← 173.87 m →
30 228 m²		 N 73.461293°
E159.845581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944007873535156 y=0.193031311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944007873535156 × 216)
    floor (0.944007873535156 × 65536)
    floor (61866.5)     		tx = 61866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193031311035156 × 216)
    floor (0.193031311035156 × 65536)
    floor (12650.5)     		ty = 12650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61866 / 12650 ti = "16/61866/12650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61866/12650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61866 ÷ 216
    61866 ÷ 65536     		x = 0.944000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12650 ÷ 216
    12650 ÷ 65536     		y = 0.193023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944000244140625 × 2 - 1) × π
    0.88800048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78973581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193023681640625 × 2 - 1) × π
    0.61395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92878909311258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78973581} λ = 2.78973581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92878909311258))-π/2
    2×atan(6.88117273516955)-π/2
    2×1.42648252698991-π/2
    2.85296505397981-1.57079632675     		φ = 1.28216873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78973581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.840088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28216873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.462857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61866 KachelY 12650 2.78973581 1.28216873 159.840088 73.462857
    Oben rechts KachelX + 1 61867 KachelY 12650 2.78983168 1.28216873 159.845581 73.462857
    Unten links KachelX 61866 KachelY + 1 12651 2.78973581 1.28214144 159.840088 73.461293
    Unten rechts KachelX + 1 61867 KachelY + 1 12651 2.78983168 1.28214144 159.845581 73.461293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28216873-1.28214144) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dl = 173.864590000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28216873-1.28214144) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dr = 173.864590000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78973581-2.78983168) × cos(1.28216873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.284636859257524 × 6371000     		do = 173.852712525703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78973581-2.78983168) × cos(1.28214144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.284663020311998 × 6371000     		du = 173.868691377826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28216873)-sin(1.28214144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284636859257524-0.284663020311998)×R²
    abs(2.78983168-2.78973581)×2.61610544736168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.61610544736168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.61610544736168e-05×40589641000000     		ar = 30228.219663831m²