Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61864 / 34568
↖ ↑ ↗
← N 64.463323°
W 10.085449°		 ← 131.67 m → N 64.463323°
W 10.082703°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
N 64.462139°
W 10.085449°		 ← 131.67 m →
17 339 m²		 N 64.462139°
W 10.082703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471988677978516 y=0.263736724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471988677978516 × 217)
    floor (0.471988677978516 × 131072)
    floor (61864.5)     		tx = 61864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263736724853516 × 217)
    floor (0.263736724853516 × 131072)
    floor (34568.5)     		ty = 34568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61864 / 34568 ti = "17/61864/34568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61864/34568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61864 ÷ 217
    61864 ÷ 131072     		x = 0.47198486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34568 ÷ 217
    34568 ÷ 131072     		y = 0.26373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.0560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17602430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26373291015625 × 2 - 1) × π
    0.4725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4845099074339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17602430} λ = -0.17602430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4845099074339))-π/2
    2×atan(4.41280220118044)-π/2
    2×1.34794678251022-π/2
    2.69589356502043-1.57079632675     		φ = 1.12509724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17602430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.085449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12509724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.463323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61864 KachelY 34568 -0.17602430 1.12509724 -10.085449 64.463323
    Oben rechts KachelX + 1 61865 KachelY 34568 -0.17597636 1.12509724 -10.082703 64.463323
    Unten links KachelX 61864 KachelY + 1 34569 -0.17602430 1.12507657 -10.085449 64.462139
    Unten rechts KachelX + 1 61865 KachelY + 1 34569 -0.17597636 1.12507657 -10.082703 64.462139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12509724-1.12507657) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dl = 131.688570000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12509724-1.12507657) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dr = 131.688570000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17602430--0.17597636) × cos(1.12509724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431088778259434 × 6371000     		do = 131.665609105573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17602430--0.17597636) × cos(1.12507657) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431107428905067 × 6371000     		du = 131.671305492817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12509724)-sin(1.12507657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431088778259434-0.431107428905067)×R²
    abs(-0.17597636--0.17602430)×1.8650645633056e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8650645633056e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8650645633056e-05×40589641000000     		ar = 17339.2308565454m²