Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61863 / 77756
↖ ↑ ↗
← S 31.793555°
W 10.088196°		 ← 259.54 m → S 31.793555°
W 10.085449°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
S 31.795889°
W 10.088196°		 ← 259.54 m →
67 365 m²		 S 31.795889°
W 10.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471981048583984 y=0.593235015869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471981048583984 × 217)
    floor (0.471981048583984 × 131072)
    floor (61863.5)     		tx = 61863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593235015869141 × 217)
    floor (0.593235015869141 × 131072)
    floor (77756.5)     		ty = 77756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61863 / 77756 ti = "17/61863/77756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61863/77756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61863 ÷ 217
    61863 ÷ 131072     		x = 0.471977233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77756 ÷ 217
    77756 ÷ 131072     		y = 0.593231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471977233886719 × 2 - 1) × π
    -0.0560455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17607223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593231201171875 × 2 - 1) × π
    -0.18646240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.585788913357086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17607223} λ = -0.17607223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585788913357086))-π/2
    2×atan(0.556666526877865)-π/2
    2×0.507947053763826-π/2
    1.01589410752765-1.57079632675     		φ = -0.55490222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17607223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.088196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55490222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.793555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61863 KachelY 77756 -0.17607223 -0.55490222 -10.088196 -31.793555
    Oben rechts KachelX + 1 61864 KachelY 77756 -0.17602430 -0.55490222 -10.085449 -31.793555
    Unten links KachelX 61863 KachelY + 1 77757 -0.17607223 -0.55494296 -10.088196 -31.795889
    Unten rechts KachelX + 1 61864 KachelY + 1 77757 -0.17602430 -0.55494296 -10.085449 -31.795889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55490222--0.55494296) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55490222--0.55494296) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17607223--0.17602430) × cos(-0.55490222) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849951960722725 × 6371000     		do = 259.54305612878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17607223--0.17602430) × cos(-0.55494296) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849930495733057 × 6371000     		du = 259.536501535961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55490222)-sin(-0.55494296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849951960722725-0.849930495733057)×R²
    abs(-0.17602430--0.17607223)×2.14649896674857e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14649896674857e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14649896674857e-05×40589641000000     		ar = 67364.7279158593m²