Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61862 / 34546
↖ ↑ ↗
← N 64.489359°
W 10.090942°		 ← 131.54 m → N 64.489359°
W 10.088196°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 64.488177°
W 10.090942°		 ← 131.55 m →
17 298 m²		 N 64.488177°
W 10.088196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471973419189453 y=0.263568878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471973419189453 × 217)
    floor (0.471973419189453 × 131072)
    floor (61862.5)     		tx = 61862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263568878173828 × 217)
    floor (0.263568878173828 × 131072)
    floor (34546.5)     		ty = 34546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61862 / 34546 ti = "17/61862/34546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61862/34546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61862 ÷ 217
    61862 ÷ 131072     		x = 0.471969604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34546 ÷ 217
    34546 ÷ 131072     		y = 0.263565063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471969604492188 × 2 - 1) × π
    -0.056060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17612017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263565063476562 × 2 - 1) × π
    0.472869873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48556451922554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17612017} λ = -0.17612017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48556451922554))-π/2
    2×atan(4.41745844925149)-π/2
    2×1.34817399003671-π/2
    2.69634798007342-1.57079632675     		φ = 1.12555165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17612017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.090942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12555165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.489359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61862 KachelY 34546 -0.17612017 1.12555165 -10.090942 64.489359
    Oben rechts KachelX + 1 61863 KachelY 34546 -0.17607223 1.12555165 -10.088196 64.489359
    Unten links KachelX 61862 KachelY + 1 34547 -0.17612017 1.12553101 -10.090942 64.488177
    Unten rechts KachelX + 1 61863 KachelY + 1 34547 -0.17607223 1.12553101 -10.088196 64.488177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12555165-1.12553101) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12555165-1.12553101) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17612017--0.17607223) × cos(1.12555165) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.4306787152983 × 6371000     		do = 131.540365322223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17612017--0.17607223) × cos(1.12553101) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430697342916271 × 6371000     		du = 131.546054676226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12555165)-sin(1.12553101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4306787152983-0.430697342916271)×R²
    abs(-0.17607223--0.17612017)×1.86276179703349e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86276179703349e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86276179703349e-05×40589641000000     		ar = 17297.5953647788m²