Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61861 / 77757
↖ ↑ ↗
← S 31.795889°
W 10.093689°		 ← 259.59 m → S 31.795889°
W 10.090942°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
S 31.798224°
W 10.093689°		 ← 259.58 m →
67 394 m²		 S 31.798224°
W 10.090942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471965789794922 y=0.593242645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471965789794922 × 217)
    floor (0.471965789794922 × 131072)
    floor (61861.5)     		tx = 61861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593242645263672 × 217)
    floor (0.593242645263672 × 131072)
    floor (77757.5)     		ty = 77757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61861 / 77757 ti = "17/61861/77757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61861/77757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61861 ÷ 217
    61861 ÷ 131072     		x = 0.471961975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77757 ÷ 217
    77757 ÷ 131072     		y = 0.593238830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471961975097656 × 2 - 1) × π
    -0.0560760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17616811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593238830566406 × 2 - 1) × π
    -0.186477661132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.585836850256706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17616811} λ = -0.17616811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585836850256706))-π/2
    2×atan(0.556639842650028)-π/2
    2×0.507926681990168-π/2
    1.01585336398034-1.57079632675     		φ = -0.55494296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17616811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.093689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55494296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.795889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61861 KachelY 77757 -0.17616811 -0.55494296 -10.093689 -31.795889
    Oben rechts KachelX + 1 61862 KachelY 77757 -0.17612017 -0.55494296 -10.090942 -31.795889
    Unten links KachelX 61861 KachelY + 1 77758 -0.17616811 -0.55498371 -10.093689 -31.798224
    Unten rechts KachelX + 1 61862 KachelY + 1 77758 -0.17612017 -0.55498371 -10.090942 -31.798224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55494296--0.55498371) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dl = 259.618250000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55494296--0.55498371) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dr = 259.618250000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17616811--0.17612017) × cos(-0.55494296) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849930495733057 × 6371000     		do = 259.590650607816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17616811--0.17612017) × cos(-0.55498371) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849909024063425 × 6371000     		du = 259.584092607229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55494296)-sin(-0.55498371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849930495733057-0.849909024063425)×R²
    abs(-0.17612017--0.17616811)×2.14716696321782e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14716696321782e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14716696321782e-05×40589641000000     		ar = 67393.6191481856m²