Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61861 / 77753
↖ ↑ ↗
← S 31.786551°
W 10.093689°		 ← 259.62 m → S 31.786551°
W 10.090942°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
S 31.788886°
W 10.093689°		 ← 259.61 m →
67 400 m²		 S 31.788886°
W 10.090942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471965789794922 y=0.593212127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471965789794922 × 217)
    floor (0.471965789794922 × 131072)
    floor (61861.5)     		tx = 61861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593212127685547 × 217)
    floor (0.593212127685547 × 131072)
    floor (77753.5)     		ty = 77753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61861 / 77753 ti = "17/61861/77753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61861/77753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61861 ÷ 217
    61861 ÷ 131072     		x = 0.471961975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77753 ÷ 217
    77753 ÷ 131072     		y = 0.593208312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471961975097656 × 2 - 1) × π
    -0.0560760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17616811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593208312988281 × 2 - 1) × π
    -0.186416625976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.585645102658226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17616811} λ = -0.17616811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585645102658226))-π/2
    2×atan(0.556746587236757)-π/2
    2×0.508008172171821-π/2
    1.01601634434364-1.57079632675     		φ = -0.55477998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17616811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.093689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55477998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.786551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61861 KachelY 77753 -0.17616811 -0.55477998 -10.093689 -31.786551
    Oben rechts KachelX + 1 61862 KachelY 77753 -0.17612017 -0.55477998 -10.090942 -31.786551
    Unten links KachelX 61861 KachelY + 1 77754 -0.17616811 -0.55482073 -10.093689 -31.788886
    Unten rechts KachelX + 1 61862 KachelY + 1 77754 -0.17612017 -0.55482073 -10.090942 -31.788886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55477998--0.55482073) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dl = 259.618250000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55477998--0.55482073) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dr = 259.618250000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17616811--0.17612017) × cos(-0.55477998) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850016357762477 × 6371000     		do = 259.616875081689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17616811--0.17612017) × cos(-0.55482073) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849994891737816 × 6371000     		du = 259.610318805223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55477998)-sin(-0.55482073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850016357762477-0.849994891737816)×R²
    abs(-0.17612017--0.17616811)×2.14660246601328e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14660246601328e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14660246601328e-05×40589641000000     		ar = 67400.4277240978m²