Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6186 / 10102
↖ ↑ ↗
← S 38.651198°
W 44.077149°		 ← 1 908.11 m → S 38.651198°
W 44.055176°		 →
↑
1 907.86 m
↓
↑
1 907.86 m
↓
S 38.668356°
W 44.077149°		 ← 1 907.65 m →
3 639 969 m²		 S 38.668356°
W 44.055176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377593994140625 y=0.616607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377593994140625 × 214)
    floor (0.377593994140625 × 16384)
    floor (6186.5)     		tx = 6186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616607666015625 × 214)
    floor (0.616607666015625 × 16384)
    floor (10102.5)     		ty = 10102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6186 / 10102 ti = "14/6186/10102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6186/10102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6186 ÷ 214
    6186 ÷ 16384     		x = 0.3775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10102 ÷ 214
    10102 ÷ 16384     		y = 0.6165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76929137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.233154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.732475826194458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76929137} λ = -0.76929137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732475826194458))-π/2
    2×atan(0.480717342953495)-π/2
    2×0.448102828035639-π/2
    0.896205656071279-1.57079632675     		φ = -0.67459067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76929137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67459067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.651198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6186 KachelY 10102 -0.76929137 -0.67459067 -44.077149 -38.651198
    Oben rechts KachelX + 1 6187 KachelY 10102 -0.76890787 -0.67459067 -44.055176 -38.651198
    Unten links KachelX 6186 KachelY + 1 10103 -0.76929137 -0.67489013 -44.077149 -38.668356
    Unten rechts KachelX + 1 6187 KachelY + 1 10103 -0.76890787 -0.67489013 -44.055176 -38.668356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67459067--0.67489013) × R
    0.000299460000000029 × 6371000     		dl = 1907.85966000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67459067--0.67489013) × R
    0.000299460000000029 × 6371000     		dr = 1907.85966000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76929137--0.76890787) × cos(-0.67459067) × R
    0.000383499999999981 × 0.780962674939827 × 6371000     		do = 1908.10931298287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76929137--0.76890787) × cos(-0.67489013) × R
    0.000383499999999981 × 0.780775603888378 × 6371000     		du = 1907.6522463049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67459067)-sin(-0.67489013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780962674939827-0.780775603888378)×R²
    abs(-0.76890787--0.76929137)×0.000187071051448662×R²
    0.000383499999999981×0.000187071051448662×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187071051448662×40589641000000     		ar = 3639968.80277398m²