Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61859 / 76874
↖ ↑ ↗
← S 29.711910°
W 10.099182°		 ← 265.27 m → S 29.711910°
W 10.096435°		 →
↑
265.29 m
↓
↑
265.29 m
↓
S 29.714296°
W 10.099182°		 ← 265.26 m →
70 372 m²		 S 29.714296°
W 10.096435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471950531005859 y=0.586505889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471950531005859 × 217)
    floor (0.471950531005859 × 131072)
    floor (61859.5)     		tx = 61859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586505889892578 × 217)
    floor (0.586505889892578 × 131072)
    floor (76874.5)     		ty = 76874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61859 / 76874 ti = "17/61859/76874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61859/76874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61859 ÷ 217
    61859 ÷ 131072     		x = 0.471946716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76874 ÷ 217
    76874 ÷ 131072     		y = 0.586502075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471946716308594 × 2 - 1) × π
    -0.0561065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17626398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586502075195312 × 2 - 1) × π
    -0.173004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.543508567892197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17626398} λ = -0.17626398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543508567892197))-π/2
    2×atan(0.580707223204945)-π/2
    2×0.526112831364564-π/2
    1.05222566272913-1.57079632675     		φ = -0.51857066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17626398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.099182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51857066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.711910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61859 KachelY 76874 -0.17626398 -0.51857066 -10.099182 -29.711910
    Oben rechts KachelX + 1 61860 KachelY 76874 -0.17621604 -0.51857066 -10.096435 -29.711910
    Unten links KachelX 61859 KachelY + 1 76875 -0.17626398 -0.51861230 -10.099182 -29.714296
    Unten rechts KachelX + 1 61860 KachelY + 1 76875 -0.17621604 -0.51861230 -10.096435 -29.714296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51857066--0.51861230) × R
    4.1640000000065e-05 × 6371000     		dl = 265.288440000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51857066--0.51861230) × R
    4.1640000000065e-05 × 6371000     		dr = 265.288440000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17626398--0.17621604) × cos(-0.51857066) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.868528503609337 × 6371000     		do = 265.270960925954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17626398--0.17621604) × cos(-0.51861230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.868507864439171 × 6371000     		du = 265.264657192133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51857066)-sin(-0.51861230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868528503609337-0.868507864439171)×R²
    abs(-0.17621604--0.17626398)×2.06391701658148e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06391701658148e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06391701658148e-05×40589641000000     		ar = 70372.4832576925m²