Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61859 / 34548
↖ ↑ ↗
← N 64.486993°
W 10.099182°		 ← 131.55 m → N 64.486993°
W 10.096435°		 →
↑
131.56 m
↓
↑
131.56 m
↓
N 64.485810°
W 10.099182°		 ← 131.56 m →
17 307 m²		 N 64.485810°
W 10.096435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471950531005859 y=0.263584136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471950531005859 × 217)
    floor (0.471950531005859 × 131072)
    floor (61859.5)     		tx = 61859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263584136962891 × 217)
    floor (0.263584136962891 × 131072)
    floor (34548.5)     		ty = 34548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61859 / 34548 ti = "17/61859/34548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61859/34548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61859 ÷ 217
    61859 ÷ 131072     		x = 0.471946716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34548 ÷ 217
    34548 ÷ 131072     		y = 0.263580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471946716308594 × 2 - 1) × π
    -0.0561065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17626398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263580322265625 × 2 - 1) × π
    0.47283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4854686454263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17626398} λ = -0.17626398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4854686454263))-π/2
    2×atan(4.41703495102849)-π/2
    2×1.3481533437413-π/2
    2.6963066874826-1.57079632675     		φ = 1.12551036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17626398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.099182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12551036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.486993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61859 KachelY 34548 -0.17626398 1.12551036 -10.099182 64.486993
    Oben rechts KachelX + 1 61860 KachelY 34548 -0.17621604 1.12551036 -10.096435 64.486993
    Unten links KachelX 61859 KachelY + 1 34549 -0.17626398 1.12548971 -10.099182 64.485810
    Unten rechts KachelX + 1 61860 KachelY + 1 34549 -0.17621604 1.12548971 -10.096435 64.485810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12551036-1.12548971) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dl = 131.561149999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12551036-1.12548971) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dr = 131.561149999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17626398--0.17621604) × cos(1.12551036) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430715979375635 × 6371000     		do = 131.551746730618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17626398--0.17621604) × cos(1.12548971) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430734615651332 × 6371000     		du = 131.557438728914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12551036)-sin(1.12548971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430715979375635-0.430734615651332)×R²
    abs(-0.17621604--0.17626398)×1.86362756974257e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86362756974257e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86362756974257e-05×40589641000000     		ar = 17307.4735078657m²