Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61858 / 77766
↖ ↑ ↗
← S 31.816897°
W 10.101929°		 ← 259.53 m → S 31.816897°
W 10.099182°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 31.819231°
W 10.101929°		 ← 259.53 m →
67 345 m²		 S 31.819231°
W 10.099182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471942901611328 y=0.593311309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471942901611328 × 217)
    floor (0.471942901611328 × 131072)
    floor (61858.5)     		tx = 61858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593311309814453 × 217)
    floor (0.593311309814453 × 131072)
    floor (77766.5)     		ty = 77766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61858 / 77766 ti = "17/61858/77766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61858/77766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61858 ÷ 217
    61858 ÷ 131072     		x = 0.471939086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77766 ÷ 217
    77766 ÷ 131072     		y = 0.593307495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471939086914062 × 2 - 1) × π
    -0.056121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17631192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593307495117188 × 2 - 1) × π
    -0.186614990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.586268282353287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17631192} λ = -0.17631192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586268282353287))-π/2
    2×atan(0.556399742152928)-π/2
    2×0.507743359183934-π/2
    1.01548671836787-1.57079632675     		φ = -0.55530961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17631192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.101929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55530961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.816897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61858 KachelY 77766 -0.17631192 -0.55530961 -10.101929 -31.816897
    Oben rechts KachelX + 1 61859 KachelY 77766 -0.17626398 -0.55530961 -10.099182 -31.816897
    Unten links KachelX 61858 KachelY + 1 77767 -0.17631192 -0.55535034 -10.101929 -31.819231
    Unten rechts KachelX + 1 61859 KachelY + 1 77767 -0.17626398 -0.55535034 -10.099182 -31.819231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55530961--0.55535034) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55530961--0.55535034) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17631192--0.17626398) × cos(-0.55530961) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849737252622235 × 6371000     		do = 259.531629187843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17631192--0.17626398) × cos(-0.55535034) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849715778800226 × 6371000     		du = 259.525070529866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55530961)-sin(-0.55535034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849737252622235-0.849715778800226)×R²
    abs(-0.17626398--0.17631192)×2.14738220085664e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14738220085664e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14738220085664e-05×40589641000000     		ar = 67345.2269226035m²