Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61858 / 76875
↖ ↑ ↗
← S 29.714296°
W 10.101929°		 ← 265.26 m → S 29.714296°
W 10.099182°		 →
↑
265.22 m
↓
↑
265.22 m
↓
S 29.716681°
W 10.101929°		 ← 265.26 m →
70 354 m²		 S 29.716681°
W 10.099182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471942901611328 y=0.586513519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471942901611328 × 217)
    floor (0.471942901611328 × 131072)
    floor (61858.5)     		tx = 61858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586513519287109 × 217)
    floor (0.586513519287109 × 131072)
    floor (76875.5)     		ty = 76875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61858 / 76875 ti = "17/61858/76875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61858/76875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61858 ÷ 217
    61858 ÷ 131072     		x = 0.471939086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76875 ÷ 217
    76875 ÷ 131072     		y = 0.586509704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471939086914062 × 2 - 1) × π
    -0.056121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17631192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586509704589844 × 2 - 1) × π
    -0.173019409179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.543556504791817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17631192} λ = -0.17631192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543556504791817))-π/2
    2×atan(0.580679386568284)-π/2
    2×0.526092014330072-π/2
    1.05218402866014-1.57079632675     		φ = -0.51861230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17631192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.101929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51861230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.714296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61858 KachelY 76875 -0.17631192 -0.51861230 -10.101929 -29.714296
    Oben rechts KachelX + 1 61859 KachelY 76875 -0.17626398 -0.51861230 -10.099182 -29.714296
    Unten links KachelX 61858 KachelY + 1 76876 -0.17631192 -0.51865393 -10.101929 -29.716681
    Unten rechts KachelX + 1 61859 KachelY + 1 76876 -0.17626398 -0.51865393 -10.099182 -29.716681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51861230--0.51865393) × R
    4.16300000000147e-05 × 6371000     		dl = 265.224730000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51861230--0.51865393) × R
    4.16300000000147e-05 × 6371000     		dr = 265.224730000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17631192--0.17626398) × cos(-0.51861230) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.868507864439171 × 6371000     		do = 265.264657192287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17631192--0.17626398) × cos(-0.51865393) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.868487228720224 × 6371000     		du = 265.258354512557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51861230)-sin(-0.51865393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868507864439171-0.868487228720224)×R²
    abs(-0.17626398--0.17631192)×2.06357189470596e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06357189470596e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06357189470596e-05×40589641000000     		ar = 70353.9112792804m²