Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61858 / 12690
↖ ↑ ↗
← N 73.400199°
E159.796143°		 ← 174.49 m → N 73.400199°
E159.801636°		 →
↑
174.50 m
↓
↑
174.50 m
↓
N 73.398630°
E159.796143°		 ← 174.51 m →
30 451 m²		 N 73.398630°
E159.801636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943885803222656 y=0.193641662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943885803222656 × 216)
    floor (0.943885803222656 × 65536)
    floor (61858.5)     		tx = 61858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193641662597656 × 216)
    floor (0.193641662597656 × 65536)
    floor (12690.5)     		ty = 12690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61858 / 12690 ti = "16/61858/12690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61858/12690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61858 ÷ 216
    61858 ÷ 65536     		x = 0.943878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12690 ÷ 216
    12690 ÷ 65536     		y = 0.193634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943878173828125 × 2 - 1) × π
    0.88775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78896882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193634033203125 × 2 - 1) × π
    0.61273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92495414114297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78896882} λ = 2.78896882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92495414114297))-π/2
    2×atan(6.85483430382482)-π/2
    2×1.4259357382819-π/2
    2.85187147656379-1.57079632675     		φ = 1.28107515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78896882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28107515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.400199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61858 KachelY 12690 2.78896882 1.28107515 159.796143 73.400199
    Oben rechts KachelX + 1 61859 KachelY 12690 2.78906469 1.28107515 159.801636 73.400199
    Unten links KachelX 61858 KachelY + 1 12691 2.78896882 1.28104776 159.796143 73.398630
    Unten rechts KachelX + 1 61859 KachelY + 1 12691 2.78906469 1.28104776 159.801636 73.398630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28107515-1.28104776) × R
    2.73899999998495e-05 × 6371000     		dl = 174.501689999041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28107515-1.28104776) × R
    2.73899999998495e-05 × 6371000     		dr = 174.501689999041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78896882-2.78906469) × cos(1.28107515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285685033364353 × 6371000     		do = 174.492924450985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78896882-2.78906469) × cos(1.28104776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285711281739725 × 6371000     		du = 174.508956637645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28107515)-sin(1.28104776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285685033364353-0.285711281739725)×R²
    abs(2.78906469-2.78896882)×2.62483753722953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.62483753722953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.62483753722953e-05×40589641000000     		ar = 30450.7090330617m²