Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61857 / 12691
↖ ↑ ↗
← N 73.398630°
E159.790650°		 ← 174.51 m → N 73.398630°
E159.796143°		 →
↑
174.50 m
↓
↑
174.50 m
↓
N 73.397061°
E159.790650°		 ← 174.52 m →
30 454 m²		 N 73.397061°
E159.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943870544433594 y=0.193656921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943870544433594 × 216)
    floor (0.943870544433594 × 65536)
    floor (61857.5)     		tx = 61857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193656921386719 × 216)
    floor (0.193656921386719 × 65536)
    floor (12691.5)     		ty = 12691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61857 / 12691 ti = "16/61857/12691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61857/12691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61857 ÷ 216
    61857 ÷ 65536     		x = 0.943862915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12691 ÷ 216
    12691 ÷ 65536     		y = 0.193649291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943862915039062 × 2 - 1) × π
    0.887725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78887295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193649291992188 × 2 - 1) × π
    0.612701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92485826734373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78887295} λ = 2.78887295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92485826734373))-π/2
    2×atan(6.85417713632003)-π/2
    2×1.42592204279797-π/2
    2.85184408559594-1.57079632675     		φ = 1.28104776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78887295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.790650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28104776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.398630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61857 KachelY 12691 2.78887295 1.28104776 159.790650 73.398630
    Oben rechts KachelX + 1 61858 KachelY 12691 2.78896882 1.28104776 159.796143 73.398630
    Unten links KachelX 61857 KachelY + 1 12692 2.78887295 1.28102037 159.790650 73.397061
    Unten rechts KachelX + 1 61858 KachelY + 1 12692 2.78896882 1.28102037 159.796143 73.397061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28104776-1.28102037) × R
    2.73900000000715e-05 × 6371000     		dl = 174.501690000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28104776-1.28102037) × R
    2.73900000000715e-05 × 6371000     		dr = 174.501690000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78887295-2.78896882) × cos(1.28104776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285711281739725 × 6371000     		do = 174.508956637645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78887295-2.78896882) × cos(1.28102037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285737529900754 × 6371000     		du = 174.524988693386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28104776)-sin(1.28102037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285711281739725-0.285737529900754)×R²
    abs(2.78896882-2.78887295)×2.62481610284193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.62481610284193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.62481610284193e-05×40589641000000     		ar = 30453.5066659852m²