Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61854 / 77719
↖ ↑ ↗
← S 31.707139°
W 10.112915°		 ← 259.79 m → S 31.707139°
W 10.110169°		 →
↑
259.87 m
↓
↑
259.87 m
↓
S 31.709477°
W 10.112915°		 ← 259.78 m →
67 510 m²		 S 31.709477°
W 10.110169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471912384033203 y=0.592952728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471912384033203 × 217)
    floor (0.471912384033203 × 131072)
    floor (61854.5)     		tx = 61854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592952728271484 × 217)
    floor (0.592952728271484 × 131072)
    floor (77719.5)     		ty = 77719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61854 / 77719 ti = "17/61854/77719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61854/77719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61854 ÷ 217
    61854 ÷ 131072     		x = 0.471908569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77719 ÷ 217
    77719 ÷ 131072     		y = 0.592948913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471908569335938 × 2 - 1) × π
    -0.056182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17650366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592948913574219 × 2 - 1) × π
    -0.185897827148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.584015248071144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17650366} λ = -0.17650366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584015248071144))-π/2
    2×atan(0.557654743095766)-π/2
    2×0.508701170918611-π/2
    1.01740234183722-1.57079632675     		φ = -0.55339398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17650366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.112915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55339398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.707139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61854 KachelY 77719 -0.17650366 -0.55339398 -10.112915 -31.707139
    Oben rechts KachelX + 1 61855 KachelY 77719 -0.17645573 -0.55339398 -10.110169 -31.707139
    Unten links KachelX 61854 KachelY + 1 77720 -0.17650366 -0.55343477 -10.112915 -31.709477
    Unten rechts KachelX + 1 61855 KachelY + 1 77720 -0.17645573 -0.55343477 -10.110169 -31.709477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55339398--0.55343477) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dl = 259.873090000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55339398--0.55343477) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dr = 259.873090000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17650366--0.17645573) × cos(-0.55339398) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850745625311052 × 6371000     		do = 259.785411158611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17650366--0.17645573) × cos(-0.55343477) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850724186290394 × 6371000     		du = 259.778864495741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55339398)-sin(-0.55343477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850745625311052-0.850724186290394)×R²
    abs(-0.17645573--0.17650366)×2.14390206587645e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14390206587645e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14390206587645e-05×40589641000000     		ar = 67510.3868932568m²