Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61854 / 77718
↖ ↑ ↗
← S 31.704803°
W 10.112915°		 ← 259.79 m → S 31.704803°
W 10.110169°		 →
↑
259.81 m
↓
↑
259.81 m
↓
S 31.707139°
W 10.112915°		 ← 259.79 m →
67 496 m²		 S 31.707139°
W 10.110169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471912384033203 y=0.592945098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471912384033203 × 217)
    floor (0.471912384033203 × 131072)
    floor (61854.5)     		tx = 61854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592945098876953 × 217)
    floor (0.592945098876953 × 131072)
    floor (77718.5)     		ty = 77718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61854 / 77718 ti = "17/61854/77718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61854/77718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61854 ÷ 217
    61854 ÷ 131072     		x = 0.471908569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77718 ÷ 217
    77718 ÷ 131072     		y = 0.592941284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471908569335938 × 2 - 1) × π
    -0.056182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17650366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592941284179688 × 2 - 1) × π
    -0.185882568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.583967311171524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17650366} λ = -0.17650366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583967311171524))-π/2
    2×atan(0.557681475975949)-π/2
    2×0.508721562229238-π/2
    1.01744312445848-1.57079632675     		φ = -0.55335320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17650366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.112915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55335320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.704803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61854 KachelY 77718 -0.17650366 -0.55335320 -10.112915 -31.704803
    Oben rechts KachelX + 1 61855 KachelY 77718 -0.17645573 -0.55335320 -10.110169 -31.704803
    Unten links KachelX 61854 KachelY + 1 77719 -0.17650366 -0.55339398 -10.112915 -31.707139
    Unten rechts KachelX + 1 61855 KachelY + 1 77719 -0.17645573 -0.55339398 -10.110169 -31.707139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55335320--0.55339398) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dl = 259.809379999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55335320--0.55339398) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dr = 259.809379999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17650366--0.17645573) × cos(-0.55335320) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.85076705766079 × 6371000     		do = 259.791955784435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17650366--0.17645573) × cos(-0.55339398) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850745625311052 × 6371000     		du = 259.785411158611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55335320)-sin(-0.55339398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85076705766079-0.850745625311052)×R²
    abs(-0.17645573--0.17650366)×2.14323497380597e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14323497380597e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14323497380597e-05×40589641000000     		ar = 67495.5367929915m²