Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61854 / 34525
↖ ↑ ↗
← N 64.514189°
W 10.112915°		 ← 131.39 m → N 64.514189°
W 10.110169°		 →
↑
131.43 m
↓
↑
131.43 m
↓
N 64.513007°
W 10.112915°		 ← 131.40 m →
17 270 m²		 N 64.513007°
W 10.110169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471912384033203 y=0.263408660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471912384033203 × 217)
    floor (0.471912384033203 × 131072)
    floor (61854.5)     		tx = 61854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263408660888672 × 217)
    floor (0.263408660888672 × 131072)
    floor (34525.5)     		ty = 34525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61854 / 34525 ti = "17/61854/34525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61854/34525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61854 ÷ 217
    61854 ÷ 131072     		x = 0.471908569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34525 ÷ 217
    34525 ÷ 131072     		y = 0.263404846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471908569335938 × 2 - 1) × π
    -0.056182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17650366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263404846191406 × 2 - 1) × π
    0.473190307617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.48657119411756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17650366} λ = -0.17650366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48657119411756))-π/2
    2×atan(4.42190763282386)-π/2
    2×1.34839066830884-π/2
    2.69678133661769-1.57079632675     		φ = 1.12598501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17650366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.112915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12598501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.514189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61854 KachelY 34525 -0.17650366 1.12598501 -10.112915 64.514189
    Oben rechts KachelX + 1 61855 KachelY 34525 -0.17645573 1.12598501 -10.110169 64.514189
    Unten links KachelX 61854 KachelY + 1 34526 -0.17650366 1.12596438 -10.112915 64.513007
    Unten rechts KachelX + 1 61855 KachelY + 1 34526 -0.17645573 1.12596438 -10.110169 64.513007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12598501-1.12596438) × R
    2.06299999998549e-05 × 6371000     		dl = 131.433729999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12598501-1.12596438) × R
    2.06299999998549e-05 × 6371000     		dr = 131.433729999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17650366--0.17645573) × cos(1.12598501) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430287565166171 × 6371000     		do = 131.393484382904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17650366--0.17645573) × cos(1.12596438) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430306187607873 × 6371000     		du = 131.399170969505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12598501)-sin(1.12596438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430287565166171-0.430306187607873)×R²
    abs(-0.17645573--0.17650366)×1.86224417018099e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86224417018099e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86224417018099e-05×40589641000000     		ar = 17269.9094552336m²