Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61854 / 34524
↖ ↑ ↗
← N 64.515371°
W 10.112915°		 ← 131.39 m → N 64.515371°
W 10.110169°		 →
↑
131.43 m
↓
↑
131.43 m
↓
N 64.514189°
W 10.112915°		 ← 131.39 m →
17 269 m²		 N 64.514189°
W 10.110169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471912384033203 y=0.263401031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471912384033203 × 217)
    floor (0.471912384033203 × 131072)
    floor (61854.5)     		tx = 61854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263401031494141 × 217)
    floor (0.263401031494141 × 131072)
    floor (34524.5)     		ty = 34524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61854 / 34524 ti = "17/61854/34524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61854/34524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61854 ÷ 217
    61854 ÷ 131072     		x = 0.471908569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34524 ÷ 217
    34524 ÷ 131072     		y = 0.263397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471908569335938 × 2 - 1) × π
    -0.056182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17650366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263397216796875 × 2 - 1) × π
    0.47320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48661913101718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17650366} λ = -0.17650366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48661913101718))-π/2
    2×atan(4.42211961044692)-π/2
    2×1.34840098141162-π/2
    2.69680196282324-1.57079632675     		φ = 1.12600564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17650366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.112915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12600564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.515371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61854 KachelY 34524 -0.17650366 1.12600564 -10.112915 64.515371
    Oben rechts KachelX + 1 61855 KachelY 34524 -0.17645573 1.12600564 -10.110169 64.515371
    Unten links KachelX 61854 KachelY + 1 34525 -0.17650366 1.12598501 -10.112915 64.514189
    Unten rechts KachelX + 1 61855 KachelY + 1 34525 -0.17645573 1.12598501 -10.110169 64.514189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12600564-1.12598501) × R
    2.0630000000077e-05 × 6371000     		dl = 131.43373000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12600564-1.12598501) × R
    2.0630000000077e-05 × 6371000     		dr = 131.43373000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17650366--0.17645573) × cos(1.12600564) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.43026894254134 × 6371000     		do = 131.387797740381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17650366--0.17645573) × cos(1.12598501) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430287565166171 × 6371000     		du = 131.393484382904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12600564)-sin(1.12598501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43026894254134-0.430287565166171)×R²
    abs(-0.17645573--0.17650366)×1.86226248310994e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86226248310994e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86226248310994e-05×40589641000000     		ar = 17269.1620423963m²