Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61853 / 77715
↖ ↑ ↗
← S 31.697793°
W 10.115662°		 ← 259.87 m → S 31.697793°
W 10.112915°		 →
↑
259.81 m
↓
↑
259.81 m
↓
S 31.700129°
W 10.115662°		 ← 259.86 m →
67 515 m²		 S 31.700129°
W 10.112915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471904754638672 y=0.592922210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471904754638672 × 217)
    floor (0.471904754638672 × 131072)
    floor (61853.5)     		tx = 61853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592922210693359 × 217)
    floor (0.592922210693359 × 131072)
    floor (77715.5)     		ty = 77715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61853 / 77715 ti = "17/61853/77715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61853/77715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61853 ÷ 217
    61853 ÷ 131072     		x = 0.471900939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77715 ÷ 217
    77715 ÷ 131072     		y = 0.592918395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471900939941406 × 2 - 1) × π
    -0.0561981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17655160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592918395996094 × 2 - 1) × π
    -0.185836791992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.583823500472664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17655160} λ = -0.17655160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583823500472664))-π/2
    2×atan(0.557761682305876)-π/2
    2×0.508782739243372-π/2
    1.01756547848674-1.57079632675     		φ = -0.55323085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17655160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.115662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55323085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.697793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61853 KachelY 77715 -0.17655160 -0.55323085 -10.115662 -31.697793
    Oben rechts KachelX + 1 61854 KachelY 77715 -0.17650366 -0.55323085 -10.112915 -31.697793
    Unten links KachelX 61853 KachelY + 1 77716 -0.17655160 -0.55327163 -10.115662 -31.700129
    Unten rechts KachelX + 1 61854 KachelY + 1 77716 -0.17650366 -0.55327163 -10.112915 -31.700129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55323085--0.55327163) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dl = 259.809379999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55323085--0.55327163) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dr = 259.809379999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17655160--0.17650366) × cos(-0.55323085) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850831351475254 × 6371000     		do = 259.86579513951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17655160--0.17650366) × cos(-0.55327163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850809923370468 × 6371000     		du = 259.859250444749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55323085)-sin(-0.55327163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850831351475254-0.850809923370468)×R²
    abs(-0.17650366--0.17655160)×2.14281047857812e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14281047857812e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14281047857812e-05×40589641000000     		ar = 67514.7209412861m²