Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61853 / 34493
↖ ↑ ↗
← N 64.551981°
W 10.115662°		 ← 131.24 m → N 64.551981°
W 10.112915°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
N 64.550801°
W 10.115662°		 ← 131.24 m →
17 225 m²		 N 64.550801°
W 10.112915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471904754638672 y=0.263164520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471904754638672 × 217)
    floor (0.471904754638672 × 131072)
    floor (61853.5)     		tx = 61853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263164520263672 × 217)
    floor (0.263164520263672 × 131072)
    floor (34493.5)     		ty = 34493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61853 / 34493 ti = "17/61853/34493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61853/34493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61853 ÷ 217
    61853 ÷ 131072     		x = 0.471900939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34493 ÷ 217
    34493 ÷ 131072     		y = 0.263160705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471900939941406 × 2 - 1) × π
    -0.0561981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17655160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263160705566406 × 2 - 1) × π
    0.473678588867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.4881051749054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17655160} λ = -0.17655160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4881051749054))-π/2
    2×atan(4.42869595942839)-π/2
    2×1.3487204663238-π/2
    2.69744093264761-1.57079632675     		φ = 1.12664461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17655160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.115662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12664461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.551981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61853 KachelY 34493 -0.17655160 1.12664461 -10.115662 64.551981
    Oben rechts KachelX + 1 61854 KachelY 34493 -0.17650366 1.12664461 -10.112915 64.551981
    Unten links KachelX 61853 KachelY + 1 34494 -0.17655160 1.12662401 -10.115662 64.550801
    Unten rechts KachelX + 1 61854 KachelY + 1 34494 -0.17650366 1.12662401 -10.112915 64.550801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12664461-1.12662401) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12664461-1.12662401) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17655160--0.17650366) × cos(1.12664461) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429692056049156 × 6371000     		do = 131.239014190925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17655160--0.17650366) × cos(1.12662401) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429710657253093 × 6371000     		du = 131.244695477402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12664461)-sin(1.12662401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429692056049156-0.429710657253093)×R²
    abs(-0.17650366--0.17655160)×1.86012039369299e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86012039369299e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86012039369299e-05×40589641000000     		ar = 17224.5222580321m²