Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61849 / 77723
↖ ↑ ↗
← S 31.716486°
W 10.126648°		 ← 259.81 m → S 31.716486°
W 10.123901°		 →
↑
259.75 m
↓
↑
259.75 m
↓
S 31.718822°
W 10.126648°		 ← 259.81 m →
67 485 m²		 S 31.718822°
W 10.123901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471874237060547 y=0.592983245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471874237060547 × 217)
    floor (0.471874237060547 × 131072)
    floor (61849.5)     		tx = 61849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592983245849609 × 217)
    floor (0.592983245849609 × 131072)
    floor (77723.5)     		ty = 77723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61849 / 77723 ti = "17/61849/77723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61849/77723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61849 ÷ 217
    61849 ÷ 131072     		x = 0.471870422363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77723 ÷ 217
    77723 ÷ 131072     		y = 0.592979431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471870422363281 × 2 - 1) × π
    -0.0562591552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17674335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592979431152344 × 2 - 1) × π
    -0.185958862304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.584206995669624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17674335} λ = -0.17674335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584206995669624))-π/2
    2×atan(0.557547824389026)-π/2
    2×0.508619610813748-π/2
    1.0172392216275-1.57079632675     		φ = -0.55355711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17674335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.126648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55355711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.716486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61849 KachelY 77723 -0.17674335 -0.55355711 -10.126648 -31.716486
    Oben rechts KachelX + 1 61850 KachelY 77723 -0.17669541 -0.55355711 -10.123901 -31.716486
    Unten links KachelX 61849 KachelY + 1 77724 -0.17674335 -0.55359788 -10.126648 -31.718822
    Unten rechts KachelX + 1 61850 KachelY + 1 77724 -0.17669541 -0.55359788 -10.123901 -31.718822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55355711--0.55359788) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dl = 259.745670000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55355711--0.55359788) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dr = 259.745670000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17674335--0.17669541) × cos(-0.55355711) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850659876507321 × 6371000     		do = 259.813422270537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17674335--0.17669541) × cos(-0.55359788) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850638442341118 × 6371000     		du = 259.806875724463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55355711)-sin(-0.55359788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850659876507321-0.850638442341118)×R²
    abs(-0.17669541--0.17674335)×2.14341662028161e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14341662028161e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14341662028161e-05×40589641000000     		ar = 67484.5612336437m²