Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61849 / 12662
↖ ↑ ↗
← N 73.444084°
E159.746704°		 ← 174.04 m → N 73.444084°
E159.752197°		 →
↑
174.06 m
↓
↑
174.06 m
↓
N 73.442519°
E159.746704°		 ← 174.06 m →
30 295 m²		 N 73.442519°
E159.752197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943748474121094 y=0.193214416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943748474121094 × 216)
    floor (0.943748474121094 × 65536)
    floor (61849.5)     		tx = 61849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193214416503906 × 216)
    floor (0.193214416503906 × 65536)
    floor (12662.5)     		ty = 12662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61849 / 12662 ti = "16/61849/12662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61849/12662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61849 ÷ 216
    61849 ÷ 65536     		x = 0.943740844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12662 ÷ 216
    12662 ÷ 65536     		y = 0.193206787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943740844726562 × 2 - 1) × π
    0.887481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78810596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193206787109375 × 2 - 1) × π
    0.61358642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9276386075217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78810596} λ = 2.78810596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9276386075217))-π/2
    2×atan(6.87326059736236)-π/2
    2×1.42631870136395-π/2
    2.8526374027279-1.57079632675     		φ = 1.28184108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78810596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.746704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28184108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.444084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61849 KachelY 12662 2.78810596 1.28184108 159.746704 73.444084
    Oben rechts KachelX + 1 61850 KachelY 12662 2.78820183 1.28184108 159.752197 73.444084
    Unten links KachelX 61849 KachelY + 1 12663 2.78810596 1.28181376 159.746704 73.442519
    Unten rechts KachelX + 1 61850 KachelY + 1 12663 2.78820183 1.28181376 159.752197 73.442519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28184108-1.28181376) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dl = 174.055720000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28184108-1.28181376) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dr = 174.055720000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78810596-2.78820183) × cos(1.28184108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.28495094086701 × 6371000     		do = 174.044549731559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78810596-2.78820183) × cos(1.28181376) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.284977128130892 × 6371000     		du = 174.060544592068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28184108)-sin(1.28181376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28495094086701-0.284977128130892)×R²
    abs(2.78820183-2.78810596)×2.61872638821492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.61872638821492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.61872638821492e-05×40589641000000     		ar = 30294.8414157939m²