Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61847 / 75878
↖ ↑ ↗
← S 27.308333°
W 10.132141°		 ← 271.33 m → S 27.308333°
W 10.129395°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
S 27.310774°
W 10.132141°		 ← 271.32 m →
73 639 m²		 S 27.310774°
W 10.129395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471858978271484 y=0.578907012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471858978271484 × 217)
    floor (0.471858978271484 × 131072)
    floor (61847.5)     		tx = 61847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578907012939453 × 217)
    floor (0.578907012939453 × 131072)
    floor (75878.5)     		ty = 75878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61847 / 75878 ti = "17/61847/75878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61847/75878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61847 ÷ 217
    61847 ÷ 131072     		x = 0.471855163574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75878 ÷ 217
    75878 ÷ 131072     		y = 0.578903198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471855163574219 × 2 - 1) × π
    -0.0562896728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17683922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578903198242188 × 2 - 1) × π
    -0.157806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.495763415870621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17683922} λ = -0.17683922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.495763415870621))-π/2
    2×atan(0.609105728776335)-π/2
    2×0.547088000908178-π/2
    1.09417600181636-1.57079632675     		φ = -0.47662032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17683922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.132141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47662032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.308333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61847 KachelY 75878 -0.17683922 -0.47662032 -10.132141 -27.308333
    Oben rechts KachelX + 1 61848 KachelY 75878 -0.17679129 -0.47662032 -10.129395 -27.308333
    Unten links KachelX 61847 KachelY + 1 75879 -0.17683922 -0.47666292 -10.132141 -27.310774
    Unten rechts KachelX + 1 61848 KachelY + 1 75879 -0.17679129 -0.47666292 -10.129395 -27.310774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47662032--0.47666292) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47662032--0.47666292) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17683922--0.17679129) × cos(-0.47662032) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.888550519923983 × 6371000     		do = 271.329590521552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17683922--0.17679129) × cos(-0.47666292) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.888530975141496 × 6371000     		du = 271.323622287096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47662032)-sin(-0.47666292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888550519923983-0.888530975141496)×R²
    abs(-0.17679129--0.17683922)×1.95447824870021e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.95447824870021e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.95447824870021e-05×40589641000000     		ar = 73639.2890917082m²