Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61846 / 12534
↖ ↑ ↗
← N 73.643266°
E159.730224°		 ← 172.03 m → N 73.643266°
E159.735718°		 →
↑
172.02 m
↓
↑
172.02 m
↓
N 73.641719°
E159.730224°		 ← 172.04 m →
29 593 m²		 N 73.641719°
E159.735718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943702697753906 y=0.191261291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943702697753906 × 216)
    floor (0.943702697753906 × 65536)
    floor (61846.5)     		tx = 61846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191261291503906 × 216)
    floor (0.191261291503906 × 65536)
    floor (12534.5)     		ty = 12534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61846 / 12534 ti = "16/61846/12534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61846/12534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61846 ÷ 216
    61846 ÷ 65536     		x = 0.943695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12534 ÷ 216
    12534 ÷ 65536     		y = 0.191253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943695068359375 × 2 - 1) × π
    0.88739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78781833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191253662109375 × 2 - 1) × π
    0.61749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93991045382443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78781833} λ = 2.78781833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93991045382443))-π/2
    2×atan(6.95812786899973)-π/2
    2×1.42805689165125-π/2
    2.8561137833025-1.57079632675     		φ = 1.28531746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78781833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.730224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28531746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.643266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61846 KachelY 12534 2.78781833 1.28531746 159.730224 73.643266
    Oben rechts KachelX + 1 61847 KachelY 12534 2.78791421 1.28531746 159.735718 73.643266
    Unten links KachelX 61846 KachelY + 1 12535 2.78781833 1.28529046 159.730224 73.641719
    Unten rechts KachelX + 1 61847 KachelY + 1 12535 2.78791421 1.28529046 159.735718 73.641719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28531746-1.28529046) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dl = 172.016999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28531746-1.28529046) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dr = 172.016999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78781833-2.78791421) × cos(1.28531746) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.281616969140938 × 6371000     		do = 172.026142392743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78781833-2.78791421) × cos(1.28529046) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.281642876264738 × 6371000     		du = 172.041967797659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28531746)-sin(1.28529046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281616969140938-0.281642876264738)×R²
    abs(2.78791421-2.78781833)×2.59071238003505e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.59071238003505e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.59071238003505e-05×40589641000000     		ar = 29592.7820571226m²