Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61846 / 12434
↖ ↑ ↗
← N 73.797253°
E159.730224°		 ← 170.45 m → N 73.797253°
E159.735718°		 →
↑
170.42 m
↓
↑
170.42 m
↓
N 73.795720°
E159.730224°		 ← 170.47 m →
29 050 m²		 N 73.795720°
E159.735718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943702697753906 y=0.189735412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943702697753906 × 216)
    floor (0.943702697753906 × 65536)
    floor (61846.5)     		tx = 61846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189735412597656 × 216)
    floor (0.189735412597656 × 65536)
    floor (12434.5)     		ty = 12434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61846 / 12434 ti = "16/61846/12434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61846/12434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61846 ÷ 216
    61846 ÷ 65536     		x = 0.943695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12434 ÷ 216
    12434 ÷ 65536     		y = 0.189727783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943695068359375 × 2 - 1) × π
    0.88739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78781833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189727783203125 × 2 - 1) × π
    0.62054443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94949783374844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78781833} λ = 2.78781833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94949783374844))-π/2
    2×atan(7.02515889696066)-π/2
    2×1.42940068399228-π/2
    2.85880136798456-1.57079632675     		φ = 1.28800504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78781833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.730224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28800504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.797253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61846 KachelY 12434 2.78781833 1.28800504 159.730224 73.797253
    Oben rechts KachelX + 1 61847 KachelY 12434 2.78791421 1.28800504 159.735718 73.797253
    Unten links KachelX 61846 KachelY + 1 12435 2.78781833 1.28797829 159.730224 73.795720
    Unten rechts KachelX + 1 61847 KachelY + 1 12435 2.78791421 1.28797829 159.735718 73.795720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28800504-1.28797829) × R
    2.67499999999643e-05 × 6371000     		dl = 170.424249999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28800504-1.28797829) × R
    2.67499999999643e-05 × 6371000     		dr = 170.424249999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78781833-2.78791421) × cos(1.28800504) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.279037149853085 × 6371000     		do = 170.450255962627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78781833-2.78791421) × cos(1.28797829) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.279062837251474 × 6371000     		du = 170.46594714795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28800504)-sin(1.28797829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279037149853085-0.279062837251474)×R²
    abs(2.78791421-2.78781833)×2.56873983886519e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.56873983886519e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.56873983886519e-05×40589641000000     		ar = 29050.1941155313m²