Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61845 / 77736
↖ ↑ ↗
← S 31.746854°
W 10.137634°		 ← 259.73 m → S 31.746854°
W 10.134888°		 →
↑
259.75 m
↓
↑
259.75 m
↓
S 31.749190°
W 10.137634°		 ← 259.72 m →
67 462 m²		 S 31.749190°
W 10.134888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471843719482422 y=0.593082427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471843719482422 × 217)
    floor (0.471843719482422 × 131072)
    floor (61845.5)     		tx = 61845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593082427978516 × 217)
    floor (0.593082427978516 × 131072)
    floor (77736.5)     		ty = 77736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61845 / 77736 ti = "17/61845/77736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61845/77736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61845 ÷ 217
    61845 ÷ 131072     		x = 0.471839904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77736 ÷ 217
    77736 ÷ 131072     		y = 0.59307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471839904785156 × 2 - 1) × π
    -0.0563201904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17693510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.584830175364685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17693510} λ = -0.17693510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584830175364685))-π/2
    2×atan(0.557200480146023)-π/2
    2×0.508354597257832-π/2
    1.01670919451566-1.57079632675     		φ = -0.55408713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17693510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.137634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55408713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.746854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61845 KachelY 77736 -0.17693510 -0.55408713 -10.137634 -31.746854
    Oben rechts KachelX + 1 61846 KachelY 77736 -0.17688716 -0.55408713 -10.134888 -31.746854
    Unten links KachelX 61845 KachelY + 1 77737 -0.17693510 -0.55412790 -10.137634 -31.749190
    Unten rechts KachelX + 1 61846 KachelY + 1 77737 -0.17688716 -0.55412790 -10.134888 -31.749190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55408713--0.55412790) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dl = 259.745670000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55408713--0.55412790) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dr = 259.745670000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17693510--0.17688716) × cos(-0.55408713) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85038111680904 × 6371000     		do = 259.728281883558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17693510--0.17688716) × cos(-0.55412790) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.850359664264243 × 6371000     		du = 259.721729724189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55408713)-sin(-0.55412790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85038111680904-0.850359664264243)×R²
    abs(-0.17688716--0.17693510)×2.14525447970182e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14525447970182e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14525447970182e-05×40589641000000     		ar = 67462.4456576358m²