Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61844 / 12667
↖ ↑ ↗
← N 73.436256°
E159.719238°		 ← 174.12 m → N 73.436256°
E159.724731°		 →
↑
174.18 m
↓
↑
174.18 m
↓
N 73.434689°
E159.719238°		 ← 174.14 m →
30 331 m²		 N 73.434689°
E159.724731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943672180175781 y=0.193290710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943672180175781 × 216)
    floor (0.943672180175781 × 65536)
    floor (61844.5)     		tx = 61844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193290710449219 × 216)
    floor (0.193290710449219 × 65536)
    floor (12667.5)     		ty = 12667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61844 / 12667 ti = "16/61844/12667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61844/12667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61844 ÷ 216
    61844 ÷ 65536     		x = 0.94366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12667 ÷ 216
    12667 ÷ 65536     		y = 0.193283081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94366455078125 × 2 - 1) × π
    0.8873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78762659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193283081054688 × 2 - 1) × π
    0.613433837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9271592385255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78762659} λ = 2.78762659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9271592385255))-π/2
    2×atan(6.86996655892221)-π/2
    2×1.4262503873462-π/2
    2.8525007746924-1.57079632675     		φ = 1.28170445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78762659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28170445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.436256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61844 KachelY 12667 2.78762659 1.28170445 159.719238 73.436256
    Oben rechts KachelX + 1 61845 KachelY 12667 2.78772246 1.28170445 159.724731 73.436256
    Unten links KachelX 61844 KachelY + 1 12668 2.78762659 1.28167711 159.719238 73.434689
    Unten rechts KachelX + 1 61845 KachelY + 1 12668 2.78772246 1.28167711 159.724731 73.434689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28170445-1.28167711) × R
    2.73400000001534e-05 × 6371000     		dl = 174.183140000977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28170445-1.28167711) × R
    2.73400000001534e-05 × 6371000     		dr = 174.183140000977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78762659-2.78772246) × cos(1.28170445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285081903814301 × 6371000     		do = 174.124540298087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78762659-2.78772246) × cos(1.28167711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285108109184152 × 6371000     		du = 174.140546217501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28170445)-sin(1.28167711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285081903814301-0.285108109184152)×R²
    abs(2.78772246-2.78762659)×2.6205369850929e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6205369850929e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6205369850929e-05×40589641000000     		ar = 30330.9531629369m²