Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61844 / 12436
↖ ↑ ↗
← N 73.794187°
E159.719238°		 ← 170.46 m → N 73.794187°
E159.724731°		 →
↑
170.49 m
↓
↑
170.49 m
↓
N 73.792654°
E159.719238°		 ← 170.48 m →
29 063 m²		 N 73.792654°
E159.724731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943672180175781 y=0.189765930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943672180175781 × 216)
    floor (0.943672180175781 × 65536)
    floor (61844.5)     		tx = 61844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189765930175781 × 216)
    floor (0.189765930175781 × 65536)
    floor (12436.5)     		ty = 12436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61844 / 12436 ti = "16/61844/12436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61844/12436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61844 ÷ 216
    61844 ÷ 65536     		x = 0.94366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12436 ÷ 216
    12436 ÷ 65536     		y = 0.18975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94366455078125 × 2 - 1) × π
    0.8873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78762659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18975830078125 × 2 - 1) × π
    0.6204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94930608614996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78762659} λ = 2.78762659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94930608614996))-π/2
    2×atan(7.02381196875247)-π/2
    2×1.42937392917759-π/2
    2.85874785835518-1.57079632675     		φ = 1.28795153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78762659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28795153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.794187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61844 KachelY 12436 2.78762659 1.28795153 159.719238 73.794187
    Oben rechts KachelX + 1 61845 KachelY 12436 2.78772246 1.28795153 159.724731 73.794187
    Unten links KachelX 61844 KachelY + 1 12437 2.78762659 1.28792477 159.719238 73.792654
    Unten rechts KachelX + 1 61845 KachelY + 1 12437 2.78772246 1.28792477 159.724731 73.792654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28795153-1.28792477) × R
    2.67599999999035e-05 × 6371000     		dl = 170.487959999385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28795153-1.28792477) × R
    2.67599999999035e-05 × 6371000     		dr = 170.487959999385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78762659-2.78772246) × cos(1.28795153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.27908853405283 × 6371000     		do = 170.463863346693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78762659-2.78772246) × cos(1.28792477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.279114230654331 × 6371000     		du = 170.47955851662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28795153)-sin(1.28792477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27908853405283-0.279114230654331)×R²
    abs(2.78772246-2.78762659)×2.56966015008131e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.56966015008131e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.56966015008131e-05×40589641000000     		ar = 29063.3742359938m²