Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61842 / 77764
↖ ↑ ↗
← S 31.812229°
W 10.145874°		 ← 259.54 m → S 31.812229°
W 10.143127°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 31.814563°
W 10.145874°		 ← 259.54 m →
67 349 m²		 S 31.814563°
W 10.143127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471820831298828 y=0.593296051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471820831298828 × 217)
    floor (0.471820831298828 × 131072)
    floor (61842.5)     		tx = 61842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593296051025391 × 217)
    floor (0.593296051025391 × 131072)
    floor (77764.5)     		ty = 77764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61842 / 77764 ti = "17/61842/77764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61842/77764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61842 ÷ 217
    61842 ÷ 131072     		x = 0.471817016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77764 ÷ 217
    77764 ÷ 131072     		y = 0.593292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471817016601562 × 2 - 1) × π
    -0.056365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17707891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.18658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.586172408554047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17707891} λ = -0.17707891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586172408554047))-π/2
    2×atan(0.55645308886734)-π/2
    2×0.507784093982778-π/2
    1.01556818796556-1.57079632675     		φ = -0.55522814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17707891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.145874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55522814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.812229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61842 KachelY 77764 -0.17707891 -0.55522814 -10.145874 -31.812229
    Oben rechts KachelX + 1 61843 KachelY 77764 -0.17703097 -0.55522814 -10.143127 -31.812229
    Unten links KachelX 61842 KachelY + 1 77765 -0.17707891 -0.55526887 -10.145874 -31.814563
    Unten rechts KachelX + 1 61843 KachelY + 1 77765 -0.17703097 -0.55526887 -10.143127 -31.814563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55522814--0.55526887) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55522814--0.55526887) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17707891--0.17703097) × cos(-0.55522814) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849780201308617 × 6371000     		do = 259.544746822013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17707891--0.17703097) × cos(-0.55526887) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849758730306304 × 6371000     		du = 259.538189025243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55522814)-sin(-0.55526887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849780201308617-0.849758730306304)×R²
    abs(-0.17703097--0.17707891)×2.14710023126452e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14710023126452e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14710023126452e-05×40589641000000     		ar = 67348.6309401532m²