Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61842 / 77698
↖ ↑ ↗
← S 31.658057°
W 10.145874°		 ← 259.98 m → S 31.658057°
W 10.143127°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
S 31.660395°
W 10.145874°		 ← 259.97 m →
67 593 m²		 S 31.660395°
W 10.143127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471820831298828 y=0.592792510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471820831298828 × 217)
    floor (0.471820831298828 × 131072)
    floor (61842.5)     		tx = 61842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592792510986328 × 217)
    floor (0.592792510986328 × 131072)
    floor (77698.5)     		ty = 77698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61842 / 77698 ti = "17/61842/77698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61842/77698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61842 ÷ 217
    61842 ÷ 131072     		x = 0.471817016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77698 ÷ 217
    77698 ÷ 131072     		y = 0.592788696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471817016601562 × 2 - 1) × π
    -0.056365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17707891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592788696289062 × 2 - 1) × π
    -0.185577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.583008573179123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17707891} λ = -0.17707891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583008573179123))-π/2
    2×atan(0.558216402780977)-π/2
    2×0.509129496295635-π/2
    1.01825899259127-1.57079632675     		φ = -0.55253733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17707891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.145874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55253733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.658057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61842 KachelY 77698 -0.17707891 -0.55253733 -10.145874 -31.658057
    Oben rechts KachelX + 1 61843 KachelY 77698 -0.17703097 -0.55253733 -10.143127 -31.658057
    Unten links KachelX 61842 KachelY + 1 77699 -0.17707891 -0.55257814 -10.145874 -31.660395
    Unten rechts KachelX + 1 61843 KachelY + 1 77699 -0.17703097 -0.55257814 -10.143127 -31.660395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55253733--0.55257814) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55253733--0.55257814) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17707891--0.17703097) × cos(-0.55253733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851195549202458 × 6371000     		do = 259.977030499847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17707891--0.17703097) × cos(-0.55257814) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851174129419014 × 6371000     		du = 259.970488346638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55253733)-sin(-0.55257814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851195549202458-0.851174129419014)×R²
    abs(-0.17703097--0.17707891)×2.14197834439434e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14197834439434e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14197834439434e-05×40589641000000     		ar = 67593.3100461245m²