Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61841 / 77762
↖ ↑ ↗
← S 31.807561°
W 10.148620°		 ← 259.50 m → S 31.807561°
W 10.145874°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 31.809895°
W 10.148620°		 ← 259.50 m →
67 338 m²		 S 31.809895°
W 10.145874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471813201904297 y=0.593280792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471813201904297 × 217)
    floor (0.471813201904297 × 131072)
    floor (61841.5)     		tx = 61841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593280792236328 × 217)
    floor (0.593280792236328 × 131072)
    floor (77762.5)     		ty = 77762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61841 / 77762 ti = "17/61841/77762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61841/77762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61841 ÷ 217
    61841 ÷ 131072     		x = 0.471809387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77762 ÷ 217
    77762 ÷ 131072     		y = 0.593276977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471809387207031 × 2 - 1) × π
    -0.0563812255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17712684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593276977539062 × 2 - 1) × π
    -0.186553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.586076534754806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17712684} λ = -0.17712684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586076534754806))-π/2
    2×atan(0.556506440696549)-π/2
    2×0.507824830840356-π/2
    1.01564966168071-1.57079632675     		φ = -0.55514667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17712684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.148620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55514667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.807561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61841 KachelY 77762 -0.17712684 -0.55514667 -10.148620 -31.807561
    Oben rechts KachelX + 1 61842 KachelY 77762 -0.17707891 -0.55514667 -10.145874 -31.807561
    Unten links KachelX 61841 KachelY + 1 77763 -0.17712684 -0.55518740 -10.148620 -31.809895
    Unten rechts KachelX + 1 61842 KachelY + 1 77763 -0.17707891 -0.55518740 -10.145874 -31.809895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55514667--0.55518740) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55514667--0.55518740) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17712684--0.17707891) × cos(-0.55514667) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849823144354701 × 6371000     		do = 259.503720501143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17712684--0.17707891) × cos(-0.55518740) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849801676172227 × 6371000     		du = 259.497164933362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55514667)-sin(-0.55518740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849823144354701-0.849801676172227)×R²
    abs(-0.17707891--0.17712684)×2.14681824742824e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14681824742824e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14681824742824e-05×40589641000000     		ar = 67337.9852753729m²