Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61840 / 77695
↖ ↑ ↗
← S 31.651043°
W 10.151367°		 ← 260 m → S 31.651043°
W 10.148620°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
S 31.653381°
W 10.151367°		 ← 259.99 m →
67 582 m²		 S 31.653381°
W 10.148620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471805572509766 y=0.592769622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471805572509766 × 217)
    floor (0.471805572509766 × 131072)
    floor (61840.5)     		tx = 61840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592769622802734 × 217)
    floor (0.592769622802734 × 131072)
    floor (77695.5)     		ty = 77695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61840 / 77695 ti = "17/61840/77695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61840/77695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61840 ÷ 217
    61840 ÷ 131072     		x = 0.4718017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77695 ÷ 217
    77695 ÷ 131072     		y = 0.592765808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.056396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17717478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592765808105469 × 2 - 1) × π
    -0.185531616210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.582864762480263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17717478} λ = -0.17717478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582864762480263))-π/2
    2×atan(0.558296686044633)-π/2
    2×0.509190704118642-π/2
    1.01838140823728-1.57079632675     		φ = -0.55241492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17717478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55241492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.651043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61840 KachelY 77695 -0.17717478 -0.55241492 -10.151367 -31.651043
    Oben rechts KachelX + 1 61841 KachelY 77695 -0.17712684 -0.55241492 -10.148620 -31.651043
    Unten links KachelX 61840 KachelY + 1 77696 -0.17717478 -0.55245572 -10.151367 -31.653381
    Unten rechts KachelX + 1 61841 KachelY + 1 77696 -0.17712684 -0.55245572 -10.148620 -31.653381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55241492--0.55245572) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dl = 259.936799999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55241492--0.55245572) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dr = 259.936799999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17717478--0.17712684) × cos(-0.55241492) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851259789551985 × 6371000     		do = 259.996651156139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17717478--0.17712684) × cos(-0.55245572) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851238379268632 × 6371000     		du = 259.990111904503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55241492)-sin(-0.55245572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851259789551985-0.851238379268632)×R²
    abs(-0.17712684--0.17717478)×2.14102833531182e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14102833531182e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14102833531182e-05×40589641000000     		ar = 67581.8476254734m²