Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61840 / 12490
↖ ↑ ↗
← N 73.711195°
E159.697266°		 ← 171.33 m → N 73.711195°
E159.702759°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
N 73.709654°
E159.697266°		 ← 171.35 m →
29 353 m²		 N 73.709654°
E159.702759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943611145019531 y=0.190589904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943611145019531 × 216)
    floor (0.943611145019531 × 65536)
    floor (61840.5)     		tx = 61840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190589904785156 × 216)
    floor (0.190589904785156 × 65536)
    floor (12490.5)     		ty = 12490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61840 / 12490 ti = "16/61840/12490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61840/12490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61840 ÷ 216
    61840 ÷ 65536     		x = 0.943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12490 ÷ 216
    12490 ÷ 65536     		y = 0.190582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943603515625 × 2 - 1) × π
    0.88720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78724309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190582275390625 × 2 - 1) × π
    0.61883544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.944128900991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78724309} λ = 2.78724309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.944128900991))-π/2
    2×atan(6.9875423619155)-π/2
    2×1.42864968413534-π/2
    2.85729936827069-1.57079632675     		φ = 1.28650304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78724309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28650304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.711195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61840 KachelY 12490 2.78724309 1.28650304 159.697266 73.711195
    Oben rechts KachelX + 1 61841 KachelY 12490 2.78733897 1.28650304 159.702759 73.711195
    Unten links KachelX 61840 KachelY + 1 12491 2.78724309 1.28647615 159.697266 73.709654
    Unten rechts KachelX + 1 61841 KachelY + 1 12491 2.78733897 1.28647615 159.702759 73.709654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28650304-1.28647615) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dl = 171.31619000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28650304-1.28647615) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dr = 171.31619000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78724309-2.78733897) × cos(1.28650304) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.280479175578249 × 6371000     		do = 171.331119511041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78724309-2.78733897) × cos(1.28647615) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.280504986115218 × 6371000     		du = 171.346885915748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28650304)-sin(1.28647615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280479175578249-0.280504986115218)×R²
    abs(2.78733897-2.78724309)×2.58105369696504e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.58105369696504e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.58105369696504e-05×40589641000000     		ar = 29353.1451452282m²