Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61839 / 12504
↖ ↑ ↗
← N 73.689611°
E159.691773°		 ← 171.53 m → N 73.689611°
E159.697266°		 →
↑
171.57 m
↓
↑
171.57 m
↓
N 73.688068°
E159.691773°		 ← 171.55 m →
29 432 m²		 N 73.688068°
E159.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943595886230469 y=0.190803527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943595886230469 × 216)
    floor (0.943595886230469 × 65536)
    floor (61839.5)     		tx = 61839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190803527832031 × 216)
    floor (0.190803527832031 × 65536)
    floor (12504.5)     		ty = 12504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61839 / 12504 ti = "16/61839/12504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61839/12504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61839 ÷ 216
    61839 ÷ 65536     		x = 0.943588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12504 ÷ 216
    12504 ÷ 65536     		y = 0.1907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943588256835938 × 2 - 1) × π
    0.887176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78714722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1907958984375 × 2 - 1) × π
    0.618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94278666780164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78714722} λ = 2.78714722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94278666780164))-π/2
    2×atan(6.97816974217304)-π/2
    2×1.42846132860311-π/2
    2.85692265720621-1.57079632675     		φ = 1.28612633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78714722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.691773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28612633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.689611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61839 KachelY 12504 2.78714722 1.28612633 159.691773 73.689611
    Oben rechts KachelX + 1 61840 KachelY 12504 2.78724309 1.28612633 159.697266 73.689611
    Unten links KachelX 61839 KachelY + 1 12505 2.78714722 1.28609940 159.691773 73.688068
    Unten rechts KachelX + 1 61840 KachelY + 1 12505 2.78724309 1.28609940 159.697266 73.688068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28612633-1.28609940) × R
    2.69300000002026e-05 × 6371000     		dl = 171.571030001291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28612633-1.28609940) × R
    2.69300000002026e-05 × 6371000     		dr = 171.571030001291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78714722-2.78724309) × cos(1.28612633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.28084074457053 × 6371000     		do = 171.53409210137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78714722-2.78724309) × cos(1.28609940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.280866590654232 × 6371000     		du = 171.549878573197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28612633)-sin(1.28609940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28084074457053-0.280866590654232)×R²
    abs(2.78724309-2.78714722)×2.58460837019303e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.58460837019303e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.58460837019303e-05×40589641000000     		ar = 29431.6351146086m²