Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61838 / 77702
↖ ↑ ↗
← S 31.667408°
W 10.156860°		 ← 259.90 m → S 31.667408°
W 10.154114°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
S 31.669746°
W 10.156860°		 ← 259.89 m →
67 556 m²		 S 31.669746°
W 10.154114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471790313720703 y=0.592823028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471790313720703 × 217)
    floor (0.471790313720703 × 131072)
    floor (61838.5)     		tx = 61838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592823028564453 × 217)
    floor (0.592823028564453 × 131072)
    floor (77702.5)     		ty = 77702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61838 / 77702 ti = "17/61838/77702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61838/77702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61838 ÷ 217
    61838 ÷ 131072     		x = 0.471786499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77702 ÷ 217
    77702 ÷ 131072     		y = 0.592819213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471786499023438 × 2 - 1) × π
    -0.056427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17727065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592819213867188 × 2 - 1) × π
    -0.185638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.583200320777603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17727065} λ = -0.17727065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583200320777603))-π/2
    2×atan(0.558109376387666)-π/2
    2×0.509047893051293-π/2
    1.01809578610259-1.57079632675     		φ = -0.55270054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17727065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.156860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55270054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.667408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61838 KachelY 77702 -0.17727065 -0.55270054 -10.156860 -31.667408
    Oben rechts KachelX + 1 61839 KachelY 77702 -0.17722272 -0.55270054 -10.154114 -31.667408
    Unten links KachelX 61838 KachelY + 1 77703 -0.17727065 -0.55274134 -10.156860 -31.669746
    Unten rechts KachelX + 1 61839 KachelY + 1 77703 -0.17722272 -0.55274134 -10.154114 -31.669746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55270054--0.55274134) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dl = 259.936799999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55270054--0.55274134) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dr = 259.936799999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17727065--0.17722272) × cos(-0.55270054) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.851109877312894 × 6371000     		do = 259.896639889325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17727065--0.17722272) × cos(-0.55274134) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.851088457110557 × 6371000     		du = 259.890098972856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55270054)-sin(-0.55274134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851109877312894-0.851088457110557)×R²
    abs(-0.17722272--0.17727065)×2.14202023370857e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14202023370857e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14202023370857e-05×40589641000000     		ar = 67555.8508003147m²