Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61837 / 77701
↖ ↑ ↗
← S 31.665071°
W 10.159607°		 ← 259.96 m → S 31.665071°
W 10.156860°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
S 31.667408°
W 10.159607°		 ← 259.95 m →
67 572 m²		 S 31.667408°
W 10.156860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471782684326172 y=0.592815399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471782684326172 × 217)
    floor (0.471782684326172 × 131072)
    floor (61837.5)     		tx = 61837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592815399169922 × 217)
    floor (0.592815399169922 × 131072)
    floor (77701.5)     		ty = 77701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61837 / 77701 ti = "17/61837/77701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61837/77701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61837 ÷ 217
    61837 ÷ 131072     		x = 0.471778869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77701 ÷ 217
    77701 ÷ 131072     		y = 0.592811584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471778869628906 × 2 - 1) × π
    -0.0564422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17731859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592811584472656 × 2 - 1) × π
    -0.185623168945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.583152383877983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17731859} λ = -0.17731859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583152383877983))-π/2
    2×atan(0.558136131062082)-π/2
    2×0.509068293092351-π/2
    1.0181365861847-1.57079632675     		φ = -0.55265974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17731859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.159607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55265974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.665071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61837 KachelY 77701 -0.17731859 -0.55265974 -10.159607 -31.665071
    Oben rechts KachelX + 1 61838 KachelY 77701 -0.17727065 -0.55265974 -10.156860 -31.665071
    Unten links KachelX 61837 KachelY + 1 77702 -0.17731859 -0.55270054 -10.159607 -31.667408
    Unten rechts KachelX + 1 61838 KachelY + 1 77702 -0.17727065 -0.55270054 -10.156860 -31.667408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55265974--0.55270054) × R
    4.0800000000063e-05 × 6371000     		dl = 259.936800000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55265974--0.55270054) × R
    4.0800000000063e-05 × 6371000     		dr = 259.936800000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17731859--0.17727065) × cos(-0.55265974) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85113129609844 × 6371000     		do = 259.957405948005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17731859--0.17727065) × cos(-0.55270054) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851109877312894 × 6371000     		du = 259.95086409958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55265974)-sin(-0.55270054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85113129609844-0.851109877312894)×R²
    abs(-0.17727065--0.17731859)×2.14187855457348e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14187855457348e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14187855457348e-05×40589641000000     		ar = 67571.6460143114m²