Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61836 / 76553
↖ ↑ ↗
← S 28.943266°
W 10.162354°		 ← 267.28 m → S 28.943266°
W 10.159607°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
S 28.945669°
W 10.162354°		 ← 267.27 m →
71 433 m²		 S 28.945669°
W 10.159607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471775054931641 y=0.584056854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471775054931641 × 217)
    floor (0.471775054931641 × 131072)
    floor (61836.5)     		tx = 61836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584056854248047 × 217)
    floor (0.584056854248047 × 131072)
    floor (76553.5)     		ty = 76553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61836 / 76553 ti = "17/61836/76553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61836/76553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61836 ÷ 217
    61836 ÷ 131072     		x = 0.471771240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76553 ÷ 217
    76553 ÷ 131072     		y = 0.584053039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.05645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17736653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584053039550781 × 2 - 1) × π
    -0.168106079101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.528120823114159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17736653} λ = -0.17736653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528120823114159))-π/2
    2×atan(0.589712102455626)-π/2
    2×0.532820525265812-π/2
    1.06564105053162-1.57079632675     		φ = -0.50515528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17736653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.162354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50515528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.943266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61836 KachelY 76553 -0.17736653 -0.50515528 -10.162354 -28.943266
    Oben rechts KachelX + 1 61837 KachelY 76553 -0.17731859 -0.50515528 -10.159607 -28.943266
    Unten links KachelX 61836 KachelY + 1 76554 -0.17736653 -0.50519723 -10.162354 -28.945669
    Unten rechts KachelX + 1 61837 KachelY + 1 76554 -0.17731859 -0.50519723 -10.159607 -28.945669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50515528--0.50519723) × R
    4.19500000000683e-05 × 6371000     		dl = 267.263450000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50515528--0.50519723) × R
    4.19500000000683e-05 × 6371000     		dr = 267.263450000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17736653--0.17731859) × cos(-0.50515528) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.87509933825612 × 6371000     		do = 267.277862960365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17736653--0.17731859) × cos(-0.50519723) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.875079036063365 × 6371000     		du = 267.271662148119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50515528)-sin(-0.50519723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87509933825612-0.875079036063365)×R²
    abs(-0.17731859--0.17736653)×2.03021927549507e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.03021927549507e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.03021927549507e-05×40589641000000     		ar = 71432.7751486988m²