Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61836 / 40405
↖ ↑ ↗
← N 56.624510°
W 10.162354°		 ← 168.02 m → N 56.624510°
W 10.159607°		 →
↑
168 m
↓
↑
168 m
↓
N 56.622999°
W 10.162354°		 ← 168.03 m →
28 229 m²		 N 56.622999°
W 10.159607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471775054931641 y=0.308269500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471775054931641 × 217)
    floor (0.471775054931641 × 131072)
    floor (61836.5)     		tx = 61836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308269500732422 × 217)
    floor (0.308269500732422 × 131072)
    floor (40405.5)     		ty = 40405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61836 / 40405 ti = "17/61836/40405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61836/40405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61836 ÷ 217
    61836 ÷ 131072     		x = 0.471771240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40405 ÷ 217
    40405 ÷ 131072     		y = 0.308265686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.05645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17736653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308265686035156 × 2 - 1) × π
    0.383468627929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.20470222435163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17736653} λ = -0.17736653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20470222435163))-π/2
    2×atan(3.33576562039059)-π/2
    2×1.27954022900201-π/2
    2.55908045800402-1.57079632675     		φ = 0.98828413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17736653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.162354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98828413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.624510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61836 KachelY 40405 -0.17736653 0.98828413 -10.162354 56.624510
    Oben rechts KachelX + 1 61837 KachelY 40405 -0.17731859 0.98828413 -10.159607 56.624510
    Unten links KachelX 61836 KachelY + 1 40406 -0.17736653 0.98825776 -10.162354 56.622999
    Unten rechts KachelX + 1 61837 KachelY + 1 40406 -0.17731859 0.98825776 -10.159607 56.622999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98828413-0.98825776) × R
    2.63700000000533e-05 × 6371000     		dl = 168.00327000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98828413-0.98825776) × R
    2.63700000000533e-05 × 6371000     		dr = 168.00327000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17736653--0.17731859) × cos(0.98828413) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.550123564044722 × 6371000     		do = 168.021896639784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17736653--0.17731859) × cos(0.98825776) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.550145584999222 × 6371000     		du = 168.028622406107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98828413)-sin(0.98825776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550123564044722-0.550145584999222)×R²
    abs(-0.17731859--0.17736653)×2.20209544996575e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20209544996575e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20209544996575e-05×40589641000000     		ar = 28228.7930440418m²